Omotetia e composizione di due trasformazioni
L’omotetia è una trasformazione geometrica che permette di cambiare le dimensioni di una figura, conservando il parallelismo e le grandezze angolari. Per capirla dobbiamo prima capire cosa vuol dire fare il prodotto di un vettore per un numero reale. Impara a riconosce un’omotetia con centro nell’origine degli assi e la composizione di due trasformazioni.
Cos’è un‘omotetia? Prima di studiare l’omotetia, vediamo come calcolare il prodotto di un vettore per un numero. Vediamo poi l’omotetia come composizione di trasformazioni.
In questa lezione imparerai:
- Prodotto di un vettore per un numero reale: cosa è e come si calcola
- Omotetia con centro nell’origine degli assi: definizione, equazioni e particolarità della trasformazione
- Composizione di due trasformazioni: come si compongono due trasformazioni e come scrivere la composizione
- Come fare il prodotto di un vettore per un numero reale
- Che cos'è un'omotetia con centro nell'origine degli assi
- Come fare la composizione tra due trasformazioni
- Interrogazione sulle omotetie
- Sfida sulle omotetie
Come fare il prodotto di un vettore per un numero reale
Ti chiedi come calcolare il prodotto tra un vettore e un numero reale? Niente di più semplice!
Dato un vettore £$ \overrightarrow{v} $£ e un numero reale £$k\ne0$£ il prodotto è un vettore con:
- Stessa direzione di £$\overrightarrow{v}$£;
- Verso concorde a £$ \overrightarrow{v}$£ se £$k>0$£, discorde se £$k<0$£;
- Modulo £$\left| \overrightarrow{w} \right| = \left|k \right| \left| \overrightarrow{v} \right|$£.
Dato £$\overrightarrow{v}$£ e £$k\ne0$£ risulta £$ \overrightarrow{w}(ka;kb)$£.
Che cos’è un’omotetia con centro nell’origine degli assi
Un’omotetia è una trasformazione geometrica che, dato un punto £$P(x;y)$£ e un numero £$k$£, associa a £$P$£ il punto £$P'(x’;y’) $£ con questa trasformazione:
£$ O_{O,k}=\begin{cases} x’=kx \\ y’=ky \end{cases}$£
in cui: £$\overline{OP’}=k\overline{OP}$£
Si parla di omotetia di centro £$O$£ (origine degli assi) e rapporto £$k$£.
Cosa succede se £$k=1$£?
La trasformazione diventa un’identità, cioè ad ogni punto associa se stesso.
Cosa succede se £$k=-1$£?
Diventa la simmetria centrale di centro £$O(0;0)$£.
L’omotetia è la trasformazione geometrica che permette di cambiare le dimensioni di una figura, conservando il parallelismo e le grandezze angolari.
Se £$ \left|k \right|>1 $£ l’omotetia ingrandisce la figura.
Se £$ \left|k \right|<1 $£ l’omotetia riduce la figura.
Se £$ k > 0 $£ l’omotetia si dice diretta: punti corrispondenti appartengono allo stesso quadrante.
Se £$ k < 0 $£ l’omotetia si dice inversa: punti corrispondenti appartengono a quadranti diversi.
Come fare la composizione tra due trasformazioni
Le trasformazioni che abbiamo visto possono essere anche fatte in successione, su una stessa figura di partenza.
La composizione di trasformazioni è l’applicazione di una o più trasformazioni sulla stessa figura.
Considera una certa figura £$F$£ e almeno due trasformazioni £$M$£ e £$N$£.
Ottieni £$F’$£ applicando prima £$M$£ e poi £$N$£: si scrive: £$ N \circ M $£
Il simbolo £$ \circ $£ indica la composizione e si legge "£$N$£ composto £$M$£".
Stai attento, perchè l’ultima trasformazione che scrivi è la prima che applichi.
Interrogazione sulle omotetie
Alcune brevi domande di un’ipotetica interrogazione sulle omotetie e la composizione di trasformazioni! Ti senti sicuro? Allora sei pronto per fare gli esercizi!
Sfida sulle omotetie
Sfida: cartine geografiche e omotetie
Soluzione:
Cosa succede all’America del Sud? Leggi la sfida e prova a risolverla! Se non sai che cos’è un’omotetia non preoccuparti: riguarda i video della lezione ed allenati con gli esercizi!