Geometria piana: postulati, teoremi, corollari

Impara a riconoscere gli enti primitivi (punto, retta, piano) e le figure geometriche piane. Impara a riconoscere e applicare postulati, teoremi, corollari e teoremi inversi. Scopri i postulati di appartenenza della retta e del piano e il postulato dell’ordine della retta.

Ente primitivo, postulato, teorema e corollario sono alcuni dei concetti descritti da Euclide nel più grande libro di geometria. Scopriamo le basi da cui Euclide è partito per costruire tutta la geometria che conosciamo. Vediamo quindi la definizione, se c’è, di punto, retta, piano, teorema, postulato, corollario, figure geometriche e teorema inverso!

In questa video lezione vediamo:

• Enti primitivi e figure geometriche: quali sono gli enti primitivi della geometria euclidea e qual è la definizione delle figure geometriche
• Postulati e teoremi: qual è la definizione di postulato e teorema nella geometria euclidea
• Corollari e teorema inverso: qual è la definizione di postulato e di teorema inverso nella geometria euclidea
• Postulati di appartenenza: quali sono i postulati di appartenenza nella geometria euclidea
• Postulato dell’ordine: qual è il postulato dell’ordine della geometria euclidea

• Enti primitivi e figure geometriche
• Postulati, teoremi e corollari
• Postulati di appartenenza
• Postulato dell'ordine
• Interrogazione su teorema, postulato e corollario

Enti primitivi e figure geometriche

In geometria ci sono 3 enti primitivi, che sono gli elementi principali, accettati come noti:

• punto;
• retta;
• piano.

Una figura geometrica è un insieme di punti.
Una figura piana è una figura geometrica che appartiene ad un piano.

Postulati, teoremi e corollari

Postulati e teoremi

Corollari e teorema inverso

I postulati (o assiomi) sono frasi date per vere, senza bisogno di una dimostrazione: sono verità di per sé evidenti.

I teoremi sono frasi da dimostrare, in cui:

• partiamo da un’ipotesi;
• facciamo una serie di ragionamenti (deduzioni), cioè costruiamo la dimostrazione;
• arriviamo ad una nuova frase, la nostra tesi (la parte del teorema che dovevamo dimostrare)!

I teoremi spesso li troviamo scritti così: "Se … (ipotesi), allora … (tesi)".
Le dimostrazioni matematiche si basano su un procedimento logico e una volta provate restano vere fino alla fine dei tempi.

I corollari sono teoremi immediatamente conseguenti ad un altro teorema: la dimostrazione è inutile perché ovvia.
Se in un teorema scambiamo l’ipotesi con la tesi otteniamo la proposizione inversa che, se valida, prende il nome di teorema inverso (o reciproco).

Postulati di appartenenza

Ogni capitolo dell’opera "Gli Elementi" di Euclide, la più importante opera di geometria, inizia con una pagina che raccoglie le definizioni utili a chiarire i concetti successivi: i postulati.

Alcuni dei principali postulati alla base della geometria sono i postulati di appartenenza della retta e del piano.

I postulati di appartenenza della retta dicono che:

• se disegni due punti su un foglio, puoi disegnare solo una retta che passa per entrambi i punti! Euclide direbbe: "per 2 punti distinti di un piano passa una e una sola retta";
• la retta non può essere costituita da un solo punto … altrimenti sarebbe un punto e non una retta! Euclide direbbe: "su una retta ci sono almeno 2 punti";
• in un piano non c’è mai solo una retta. Euclide direbbe: "per ogni retta di un piano esiste almeno un punto, nel piano, che non le appartiene".

I postulati di appartenenza del piano dicono che:

• se disegni 3 punti qualsiasi, non uno in fila all’altro, c’è solo 1 piano che passa per tutti e tre! Euclide direbbe: "per 3 punti distinti non allineati passa uno e un solo piano";
• se 2 punti di una retta sono su un piano, tutta la retta è sul piano! Euclide direbbe: "fissati due punti in un piano, la retta passante per i 2 punti distinti giace interamente sul piano".

Postulato dell’ordine

Il postulato dell’ordine dice che la retta è un insieme di infiniti punti su cui si può sempre stabilire un verso (presi due punti il primo precede il secondo e il secondo segue il primo): "La retta è un insieme ordinato di punti, non esiste né un primo né un ultimo punto, e fra due dei suoi punti esiste sempre almeno un altro punto"
Una retta orientata è una retta a cui è fissato un verso.

Da tutti questi postulati possiamo dire che:

• ogni piano contiene infiniti punti e infinite rette;
• per un punto passano infinite rette.

L’insieme delle rette passanti per un punto si chiama fascio proprio.

Interrogazione su teorema, postulato e corollario

Hai imparato a riconoscere gli enti primitivi, sai la differenza tra teorema, postulato e corollario. Non ti resta che preparati al meglio per l’interrogazione di domani. Come? Ti aiutiamo noi!

Sfida sugli enti primitivi

Sfida:

Soluzione:

Ecco la sfida sugli enti primitivi: punti, rette e piani! Se non riesci a risolverla non preoccuparti: riguarda i video e fai gli esercizi così ti alleni!