Permutazioni: definizione, applicazione e formule

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Le permutazioni sono un concetto fondamentale nella matematica, particolarmente nella teoria dei numeri e nella combinatoria. Rappresentano i diversi modi in cui un insieme di oggetti può essere ordinato o arrangiato, e sono centrali in molti problemi di conteggio e decisione.

Le permutazioni ti aiutano a trovare tutte le possibili sequenze ordinate di un certo numero di elementi. L’esempio più classico di permutazione è l’anagramma di una parola: quindi una permutazione è uno scambio tra le posizioni degli elementi di una sequenza. Questi elementi possono essere tutti diversi (permutazione semplice) oppure con qualcuno uguale (permutazione con ripetizione).

Come si calcola il numero di permutazioni? Cosa significa n fattoriale e come si usa nelle permutazioni? Ecco cosa vedremo in questo articolo:

Cos’è una permutazione: definizione e applicazioni
Permutazioni semplici: cosa sono e formula per calcolarle
Permutazioni con ripetizione: cosa sono e formula per calcolarle

Cos'è una permutazione
Permutazioni semplici
Permutazioni con ripetizione
Esercizi sulle permutazioni
Sfida sulle permutazioni

Cos’è una permutazione

Una permutazione è uno scambio dell’ordine di una sequenza di elementi che possono essere di qualunque tipo. La cosa importante è che in ogni permutazione devono esserci tutti gli elementi.

Cosa ci interessa sapere? Se abbiamo £$n$£ elementi ci interessa sapere il numero totale di permutazioni, cioè di sequenze con ordine diverso di questi £$n$£ elementi.

Permutazioni semplici

Le permutazioni semplici sono quelle in cui gli elementi sono tutti diversi fra loro. Per trovare il numero di permutazioni semplici di £$n$£ elementi usiamo la formula: £$P_n=n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot … \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$£.

Il simbolo £$n!$£ si chiama n fattoriale, ed è il prodotto dei primi £$n$£ numeri naturali.

Permutazioni con ripetizione

Le permutazioni con ripetizione sono quelle in cui uno o più elementi sono ripetuti. Un esempio è l’anagramma della parola "matematica": la lettera "m" si ripete £$2$£ volte, "a" £$3$£ volte e la lettera "t" £$2$£ volte.

Per trovare il numero di permutazioni con ripetizione devi calcolare il numero di permutazioni degli £$n$£ elementi £$P_n$£ e dividerlo per il prodotto del numero di permutazioni degli elementi che si ripetono.
Quindi gli anagrammi della parola "matematica" sono:

£$P’_{10}=\frac{P_{10}}{P_{2}\cdot P_{3} \cdot P_{2}} = \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = 151.200$£.