Identità: definizione ed esempi pratici
Le identità sono gli esempi più semplici di equazioni: sono delle uguaglianze sempre verificate.
Con le identità e il calcolo letterale, possiamo iniziare a parlare di algebra: introduciamo il concetto di "sconosciuto", "incognito", qualcosa che indichiamo con una lettera dell’alfabeto (di solito usiamo la £$ x $£).
Per esempio £$ 3 = 3 $£ è un’identità: un numero è sempre uguale a se stesso. Ma anche £$ 12x = 12x $£ è un’identità: sostituendo un numero qualsiasi al posto della £$ x $£, troveremo sempre lo stesso risultato. Tutte le uguaglianze che sono verificate sempre, qualsiasi valore attribuiamo alla lettera che vi compare, sono identità.
Che cos’è un’identità?
Prima di parlare di equazioni, capiamo bene cos’è un’identità.
Un’identità è un’uguaglianza sempre vera. Cioè abbiamo due espressioni letterali, due numeri, due frazioni, … uguali da una parte e dall’altra dell’uguale!
£$ 3 = 3 $£ è un’identità, ma anche £$ 32a = 32a $£ è un’identità perché è un’uguaglianza vera, qualunque sia il valore di £$ a $£.
Possiamo dire che un’identità è una bilancia sempre in equilibrio. Abbiamo già incontrato le identità studiando matematica: ogni volta che risolviamo un’espressione e troviamo il risultato corretto, siamo di fronte ad un’identità. L’espressione iniziale è uguale al risultato che troviamo alla fine: anche se a prima vista sembrano due cose completamente diverse, hanno lo stesso valore.
Qualche esempio di identità
Hai capito come funzionano le identità? Proviamo a vedere qualche esempio.
- "Il triplo meno il doppio di un numero è uguale al numero stesso". Possiamo esprimere questa frase attraverso un’identità, perché è sempre vero.
£$ 3x – 2x = x $£
Qualsiasi numero sostituiamo al posto della £$ x $£, otteniamo sempre un’identità. - Quando risolviamo una qualsiasi espressione algebrica, stiamo risolvendo un’identità.
£$ 6x + 9 \cdot (x – 1) + 14 – 15x = 5 $£
Si tratta proprio di un’identità: infatti se risolviamo l’espressione alla sinistra dell’uguale, troviamo come risultato proprio £$ 5 $£.
£$ 6x + 9x – 9 + 14 – 15x = $£ £$ 15x – 9 + 14 – 15x = 5 $£ - Quando scriviamo delle formule di geometria utilizziamo delle identità: £$ Area = b \cdot h $£ è l’identità che esprime l’area di un rettangolo e vale sempre! Preso un rettangolo di base £$ b $£ e altezza £$ h $£, se sostituiamo i valori nell’espressione otteniamo un’identità.
In generale, possiamo concludere che le identità si utilizzano in matematica e in molte altre discipline per vari scopi importanti:
- Semplificazione di espressioni: Le identità consentono di ridurre espressioni complesse a forme più semplici, facilitandone la manipolazione e la comprensione. Questo è particolarmente utile in algebra, dove espressioni algebriche possono essere semplificate usando identità come quelle trigonometriche o polinomiali.
- Risoluzione di equazioni: Molte volte, le identità aiutano a trasformare equazioni complicate in equazioni più semplici o più familiari, rendendo possibile trovare soluzioni che altrimenti sarebbero difficili da individuare.
- Dimostrazione di teoremi: In matematica, le identità vengono spesso utilizzate per dimostrare teoremi o per stabilire relazioni importanti tra vari concetti matematici, fungendo da ponte logico tra diverse proprietà o risultati.