La posizione delle rette nel piano cartesiano
Il piano cartesiano, strutturato attorno a due assi perpendicolari, rappresenta uno degli strumenti fondamentali della geometria analitica. All’interno di questo sistema, le rette assumono diverse posizioni, creando pattern e relazioni che sono fondamentali per la comprensione di molte questioni geometriche.
In questo articolo, ci concentreremo sulle diverse posizioni che una retta può assumere all’interno del piano cartesiano. Analizzeremo quando due rette si dicono orizzontali, verticali o passanti per l’origine e capiremo come ciò può influenzare gli altri elementi geometrici.
La posizione delle rette nel piano cartesiano
Tipologie di rette nel piano cartesiano
Oltre a punti, segmenti e poligoni, possiamo rappresentare sul piano cartesiano anche le rette.
Individuiamo i punti con le coordinate, i segmenti con le coordinate degli estremi e i poligoni con le coordinate di tutti i vertici. Come si individuano le rette sul piano cartesiano? Serve un’equazione!
Le rette orizzontali rappresentano tutti i punti con la stessa ordinata, quindi hanno equazione £$ y = k $£ con £$ k $£ numero qualsiasi (intero o razionale). Le rette orizzontali sono tutte parallele all’asse £$ x $£ che rappresenta tutti i punti con ordinata uguale a £$ 0 $£: è la retta che passa per l’origine e ha equazione £$ y = 0 $£.
Le rette verticali rappresentano tutti i punti con la stessa ascissa, quindi hanno equazione £$ x = k $£ con £$ k $£ numero qualsiasi (intero o razionale). Le rette verticali sono tutte parallele all’asse £$ y $£ che rappresenta tutti i punti con ascissa uguale a £$ 0 $£: è la retta che passa per l’origine e ha equazione £$ x = 0 $£.
Le rette rappresentano una relazione particolare tra due numeri: lo scopriremo studiando la proporzionalità diretta! La retta che rappresenta tutti i multipli di £$ 2 $£, quindi tutti i punti di coordinate £$ (x_P; 2x_P) $£, è la retta passante per l’origine con equazione £$ y = 2x $£.
Le formule delle rette nel piano cartesiano
Formula dell’equazione della retta passante per due punti
Dati due punti £$A(x_a; y_A)$£, £$B(x_B; y_B)$£ possiamo trovare l’equazione della retta passante per questi due punti usando la formula $$\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}$$
Formula distanza tra due punti
Dati due punti £$A(x_a; y_A)$£, £$B(x_B; y_B)$£ la distanza tra questi due punti viene calcolata con la formula: $$d(A,B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$$
Formula distanza punto retta
Per trovare la distanza tra un punto £$P(x_P;y_P)$£ e una retta £$r : ax + by + c = 0 $£ usiamo la formula: $$d(P, r)=\frac{\mid ax_P+by_P+c\mid}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
Formula dell’equazione di un fascio di rette
Dato un punto £$A(x_A;y_A)$£ è possibile trovare l’equazione del fascio di rette passante per tale punto usando la formula: $$y-y_A=m(x-x_A)$$
I segmenti nel piano cartesiano
Segmenti orizzontali e verticali
Teorema Pitagora sul piano cartesiano
Esercizio svolto: distanza tra due punti
Il piano cartesiano è un normalissimo piano, solo che ha un sistema di riferimento tale per cui riusciamo a individuare la posizione dei punti e delle figure disegnate sul piano.
Abbiamo già parlato delle coordinate dei punti: due numeri, il primo indica la posizione lungo l’asse £$ x $£ (o asse delle ascisse), il secondo indica la posizione lungo l’asse £$ y $£ (o asse delle ordinate).
Congiungendo due punti qualsiasi £$ A(x_A; y_A) $£ e £$ B(x_B; y_B) $£ sul piano cartesiano troviamo un segmento £$ AB $£. Come facciamo a calcolare la lunghezza di un segmento nel piano cartesiano?
- Se i due estremi hanno la stesso ascissa, si tratta di un segmento verticale: possiamo calcolare la sua lunghezza con una semplice differenza tra le ordinate. Se £$ y_B > y_A $£, troviamo che il segmento ha lunghezza £$ \overline{AB} = y_B – y_A $£, altrimenti viceversa.
- Se i due estremi hanno la stessa ordinata, si tratta di un segmento orizzontale: possiamo calcolare la sua lunghezza con una semplice differenza tra le ascisse. Se £$ x_B > x_A $£, troviamo che il segmento ha lunghezza £$ \overline{AB} = x_B – x_A $£, altrimenti viceversa.
E come facciamo se siamo di fronte ad un segmento che non è né verticale né orizzontale? Qui viene in nostro aiuto il teorema di Pitagora. Possiamo costruire sul piano cartesiano un triangolo rettangolo avente come ipotenusa il segmento £$ AB $£. Quanto misurano i due cateti? Costruiamo il cateto orizzontale che misura £$ x_B – x_A $£ e il cateto verticale che misura £$ y_B – y_A $£. Applichiamo quindi il teorema di Pitagora e troviamo la lunghezza del segmento £$ AB $£:
$$ \overline{AB} = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} $$
I poligoni nel piano cartesiano
Aree nel piano cartesiano
Esercizio svolto
Sul piano cartesiano possiamo disegnare punti, segmenti e anche poligoni: basta congiungere più segmenti a formare una linea spezzata chiusa.
Possiamo calcolare il perimetro e l’area di un poligono sul piano cartesiano, come abbiamo già imparato a fare. Per trovare il perimetro, dobbiamo calcolare le lunghezze di tutti i segmenti e sommarle. Per calcolare l’area, possiamo aiutarci costruendo sul piano cartesiano delle figure di cui conosciamo l’area, e poi trovare le aree della figura che stiamo cercando.
Abbiamo imparato che i segmenti di cui è più facile trovare la lunghezza sono quelli orizzontali e verticali. Per calcolare l’area di una figura strana sul piano cartesiano, troviamo il rettangolo che la racchiude e arriviamo all’area finale sottraendo le aree dei triangoli o delle altre figure che riusciamo a riconoscere.