Equazioni di secondo grado parametriche: cosa sono

In matematica un’equazione di secondo grado è parametrica (o letterale) se oltre all’incognita x compare un’altra lettera, per esempio £$k$£. La lettera £$k$£ è chiamata parametro: non è un’altra incognita ma semplicemente è un valore che può cambiare quindi va trattata come un numero.

Cambiando il valore di £$k$£ si ottiene un’equazione diversa ogni volta, quindi un’equazione di secondo grado parametrica è una famiglia di infinite equazioni!

Ma non preoccuparti, vediamo insieme un po’ per volta tutti questi concetti e chiariamo cos’è un’equazione di secondo grado parametrica e come si risolve!

• Che cos'è un'equazione di secondo grado parametrica
• Condizioni sul parametro per l’esistenza delle soluzioni
• Equazioni parametriche di secondo grado: esercizi svolti
• Esercizio svolto "difficile" sulle equazioni parametriche di secondo grado

Che cos’è un’equazione di secondo grado parametrica

Cosa significa il parametro £$k$£

Come risolvere un’equazione parametrica

Cosa succede se in equazione di secondo grado c’è un’altra lettera oltre alla £$x$£? Abbiamo un’equazione di secondo grado parametrica (o letterale) se oltre all’incognita £$x$£ compare un’altra lettera, per esempio £$k$£.

La lettera £$k$£ va trattata come un numero: risolvere un’equazione parametrica significa trovare i valori di £$x$£ (che dipenderanno dal parametro £$k$£!) per cui l’equazione diventa un’identità.

Come per le equazioni lineari parametriche, anche per le equazioni di secondo grado parametriche bisogna fare la discussione: capire quanto valgono le soluzioni al variare di £$k$£.

Quando studiamo o discutiamo un’equazione parametrica, stiamo studiando infinite equazioni, ognuna delle quali si ottiene assegnando un valore al parametro £$k$£.

Durante la risoluzione dobbiamo stare attenti a non rendere privi di significato dei termini dell’equazione, quindi dobbiamo mettere delle condizioni sui valori del parametro £$k$£.

Condizioni sul parametro per l’esistenza delle soluzioni

Gli esercizi sulle equazioni di secondo grado parametriche sono del tipo: "Trova il valore del parametro £$k$£ in modo che le radici siano coincidenti"

Non spaventarti! Quando le richieste sono di trovare il valore di £$k$£ in modo che le radici siano reali, non reali, coincidenti o distinte, l’ingrediente fondamentale per risolvere tutti questi problemi è £$\Delta=b^2-4ac$£!

Difficilmente (per non dire mai), dovrai risolvere le equazioni parametriche di secondo grado e trovare le soluzioni.
Nel video trovi un esercizio svolto sulle equazioni parametriche di secondo grado!

Equazioni parametriche di secondo grado: esercizi svolti

Una radice uguale a 0; una radice è il doppio dell’altra

Somma delle radici >0; una radice opposta dell’altra

Radici discordi; una radice è il reciproco dell’altra

Vediamo altre tipologie di esercizi sulle equazioni parametriche di secondo grado:

• "Trova il valore del parametro £$k$£ in modo che la somma delle soluzioni sia maggiore di [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]"
• "Trova il valore del parametro £$k$£ in modo che le soluzioni siano concordi"

È facilissimo! Devi usare le relazioni tra le soluzioni e i coefficienti di un’equazione di secondo grado £$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$£ e £$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$£, così otterrai un’equazione o una disequazione in cui l’incognita è £$k$£ (perché i coefficienti di un’equazione di secondo parametrica dipendono da £$k$£!), risolvila e ottieni il valore o i valori di £$k$£ che ti servivano!
Nei video trovi tre esercizi svolti sulle equazioni parametriche di secondo grado.

Esercizio svolto "difficile" sulle equazioni parametriche di secondo grado

In alcuni esercizi sulle equazioni parametriche di secondo grado, le richieste di "trovare il valore del parametro £$k$£ tale che…" non sono esplicite come quelle viste nei video precedenti. Vediamo alcuni esempi più "difficili":

• "Trova il valore del parametro £$k$£ in modo che la somma dei quadrati (o cubi) delle soluzioni sia £$2$£"
• "Trova il valore del parametro £$k$£ in modo che la somma dei reciproci delle soluzioni sia £$-1$£"

Non disperare! Devi tradurre queste richieste e trasformarle in un’espressione in cui puoi sostituire i due ingredienti £$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$£ e £$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$£
Ti aiutiamo noi con questo esercizio svolto!