Numeri razionali: come rappresentarli sulla retta

I numeri razionali costituiscono una delle categorie più versatili della matematica, fungendo da ponte tra i semplici numeri interi e i più complessi numeri reali: sono definiti come tutti quei numeri che possono essere espressi come il quoziente di due interi, dove il numeratore e il denominatore sono interi e il denominatore è diverso da zero.

In matematica le frazioni sono una divisione tra due numeri interi e, in generale (anche quelle proprie e improprie), sono numeri razionali. L’insieme dei numeri razionali è un’ampliamento di quello degli interi. Nei numeri razionali puoi sempre fare la divisione tra due numeri interi: il risultato si può scrivere sotto forma di frazione o di numero con la virgola.

Anche le frazioni si possono rappresentare su una retta orientata: per farlo è importante imparare a confrontare i numeri scritti sotto forma di frazioni. Allenati con gli esercizi dei nostri livelli: studiare le operazioni con le frazioni sarà più semplice!

• L'insieme dei numeri razionali e le frazioni
• Confronto tra numeri razionali
• Come rappresentare i numeri razionali sulla retta
• Rappresentazione e confronto di frazioni: cosa potrebbero chiederti
• Trova chi ha bevuto di più confrontando le frazioni

L’insieme dei numeri razionali e le frazioni

Hai studiato i numeri naturali ed hai visto che la sottrazione non è sempre un’operazione interna, cioè non è detto che la sottrazione tra due numeri naturali dia un numero naturale.

Per esempio £$5-9$£ è un’operazione che non ha senso nei naturali. La sottrazione si può fare solo se il minuendo è maggiore del sottraendo. Per poter risolvere questo problema hai imparato cosa sono e quali operazioni si possono fare nei numeri interi relativi, dove £$5-9=-4$£.

Ma nei numeri relativi la divisione non è sempre un’operazione interna, lo è solo se il divisore è multiplo del dividendo. Per esempio £$4:2=2$£ è un’operazione interna, ma £$2:3=?$£, non lo è!

Ora, per risolvere questo problema introduciamo l’insieme dei numeri razionali. Diciamo che l’insieme £$\mathbb{Q}$£ dei numeri razionali è un’ampliamento dell’inzieme £$\mathbb{Z}$£ dei nuemri interi relativi. Nei razionali è sempre possibile fare la divisione tra due numeri interi e il risultato è una frazione, oppure un numero con la virgola. Per esempio £$2:3=\frac{2}{3}=0,6666666…$£, oppure £$1:2=\frac{1}{2}=0,5$£

C’è un operazione che non si può fare nei razionali? C’è qualche numero che non si può scrivere sotto forma di frazione? Sì, alcune radici! Per esempio £$\sqrt{2}$£ è un numero che non si può scrivere come divisione di due interi e quindi come frazione. Questi numeri fanno parte dell’insieme degli irrazionali: sono numeri con cifre dopo la virgola illimitate e non periodiche!

Confronto tra numeri razionali

Hai le frazioni £$\frac{1}{2}$£ e £$\frac{3}{4}$£, come fai a capire qual è la più grande?

Confrontare due frazioni che hanno lo stesso denominatore è semplice: è più grande quella con il numeratore maggiore.

Esempio: tra £$\frac{3}{7}$£ e £$\frac{5}{7}$£ la frazione maggiore è £$\frac{5}{7}$£. Se hai una torta divisa in £$7$£ fette ne mangi di più se ne prendi £$3$£ fette piuttosto che £$2$£!

Se le frazioni hanno lo stesso numeratore, allora la frazione più grande è quella con il denominatore minore. Ripensiamo alla torta, ne hai una divisa in £$5$£ fette e ne mangi £$3$£, ne hai mangiato i £$\frac{3}{5}$£. Se invece ne mangi £$3$£ parti e la torta è divisa in £$7$£, le fette sono più piccole, quindi ne mangi meno! Infatti £$\frac{3}{5} > \frac{3}{7}$£

Se i denominatori e i numeratori delle due frazioni sono diversi, allora puoi ricondurre le frazioni allo stesso denominatore. Scrivi le frazioni equivalenti a quelle di partenza ma con denominatore uguale trovando il minimo comune denominatore, cioè il minimo comune multiplo tra i denominatori: ottieni due frazioni equivalenti a quelle di partenza ma con lo stesso denominatore.

Qual è la frazione maggiore tra £$\frac{3}{7}$£ e £$\frac{2}{28}$£. Il £$ \text{m.c.m.}(7, 28)=28$£. Le frazioni equivalenti sono £$\frac{12}{28}$£ e £$\frac{2}{28}$£, quindi la frazione più grande è £$\frac{12}{28}$£ perché ha il numeratore più grande!

Per confrontare due frazioni con il prodotto in croce devi moltiplicare il numeratore della prima con il denominatore della seconda ed il denominatore della prima con il numeratore della seconda. Se il primo prodotto è maggiore, allora la prima frazione è la più grande!

Esempio: tra £$\frac{2}{5}$£ e £$\frac{6}{21}$£ qual è la più grande? Faccio il prodotto incrociato: £$2 \cdot 21=42$£ e £$5 \cdot 6=30$£. Visto che £$42 > 30$£ possiamo dire che £$\frac{2}{5} > \frac{6}{21} $£

Come rappresentare i numeri razionali sulla retta

I numeri razionali si possono rappresentare sulla retta orientata, così come i numeri interi. Ti capiterà di dover rappresentare su una retta i numeri razionali. È un po’ più complicato che con i numeri interi, perché hai dei numeri con la virgola, ecco perché è importante saperle confrontare.

Prima di tutto individua un segmento che userai come unità di misura.
Poi è importante capire se la frazione che devi posizionare sulla retta è minore o maggiore di uno, quindi se si tratta di una frazione propria oppure di una impropria.

• Per rappresentare le frazioni proprie, cioè quelle in cui il numeratore è minore del denominatore, basta dividere l’unità in tante parti quante ne indica il denominatore, e di queste considerarne tante quante ne indica il numeratore.
• Per rappresentare una frazione impropria, cioè quella in cui il numeratore è maggiore del denominatore, prima scomponi la frazione nell’intero più la parte frazionaria, così capisci dopo quante unità devi disegnarla, quindi procedi come per le frazioni proprie. Oppure, come per le frazioni proprie, dividi l’unità in tante parti quante ne indica il denominatore, e riporta tante parti quante ne indica il numeratore: ovviamente questo andrà oltre l’intero!

Proviamo a rappresentare, per esempio, la frazione £$\frac{19}{2}$£: osserva che £$\frac{19}{2}=\frac{18}{2} + \frac{1}{2}= 9 + \frac{1}{2}$£, quindi prendi £$9$£ interi e dividi il decimo in £$2$£ parti delle quali ne consideri una sola; oppure puoi dividere l’intero in £$2$£ parti e prendere £$19$£ di queste.

Rappresentazione e confronto di frazioni: cosa potrebbero chiederti

Hai imparato come rappresentare i numeri razionali sulla retta orientata? Hai capito come confrontare le frazioni? Prova a rispondere a queste due domande che potrebbero farti all’interrogazione!

Esercitati anche con gli esercizi spiegati dei livelli: potrai ripassare la teoria ed imparare quando una frazione è maggiore o minore di un’altra e qual è la posizione dei numeri razionali sulla retta orientata.

Trova chi ha bevuto di più confrontando le frazioni

Sfida: a quale festa avete bevuto di più?

Soluzione:

Sei a scuola, è l’ora di ricreazione, tutti discutono sulla tua festa di compleanno e su quella di un tuo amico che ha festeggiato pochi giorni dopo di te. Sei interessato perché vuoi capire se i tuoi amici sono soddisfatti dei festeggiamenti, ma vuoi essere anche sicuro che non dicano bugie per non rovinarti la reputazione a scuola! Qualcuno confronta il succo che hanno bevuto gli invitati della tua festa e quelli della festa del tuo amico. Chi ha bevuto di più?

Risolvi questa sfida e impara a confrontare le frazioni, ti saranno d’aiuto in queste discussioni!