I numeri naturali: moltiplicazione e divisione

La moltiplicazione e la divisione dei numeri naturali (ovvero, l’insieme N) sono due delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali che formano la base della matematica. Queste operazioni, semplici ma potenti, estendono il concetto di addizione e sottrazione, permettendo di eseguire calcoli su quantità maggiori in modo più efficiente e strutturato.

Ora che hai imparato che l’addizione e la sottrazione tra numeri naturali non è banale, che ha importanti caratteristiche e che nell’insieme dei numeri naturali non si può sempre svolgere, facciamo la stessa cosa per la moltiplicazione e divisione.

Scopriamo insieme le altre due operazioni fondamentali in matematica e le loro proprietà! Ascolta le lezioni e allenati con gli esempi e gli esercizi svolti e spiegati su moltiplicazione e divisione dei tre livelli!

• Cos'è la moltiplicazione
• Proprietà della moltiplicazione
• Cos'è la divisione
• Le proprietà della divisione
• Interrogazione su moltiplicazione e divisione
• Moltiplicazione e divisione: sfida!

Cos’è la moltiplicazione

Cos’è la moltiplicazione? Beh è facile. Le tabelline sono un esempio di moltiplicazione tra numeri naturali. Ad esempio "£$3$£ per £$2$£" significa sommare £$3$£ tante volte quante il secondo numero cioè £$2$£. Allora "£$3$£ per £$2$£" è uguale a £$3+3=6$£. Semplice no?

Il risultato della moltiplicazione di due o più numeri è il prodotto. Ma con quale simbolo indichiamo la moltiplicazione? Ce ne sono due: o la x (il per) oppure il pallino £$\cdot$£. Quindi "£$3$£ per £$2$£" sarà £$3 $£ x £$2 $£ oppure £$3 \cdot 2$£

La moltiplicazione è utile quando dobbiamo sommare tante volte la stessa quantità. Ad esempio se abbiamo £$3+3+3+3+3+3+3$£ perdiamo tempo e spazio sul foglio per scrivere tutta l’espressione. Invece se scriviamo £$3\cdot 7$£ abbiamo lo stesso risultato.

Cosa abbiamo fatto? Abbiamo contato quante volte il £$3$£ si ripete (sette volte) e scriviamo la moltiplicazione di £$3$£ per £$7$£

Se moltiplichiamo due o più numeri naturali, il prodotto è sempre un numero naturale: la moltiplicazione è un’operazione interna in £$ \mathbb{N}$£

Proprietà della moltiplicazione

La moltiplicazione ha molte proprietà, che discendono da quelle dell’addizione. In più vale la legge di annullamento del prodotto: qualsiasi numero moltiplicato per £$ è [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]=0$£

Quali sono queste proprietà della moltiplicazione? Eccole qua:

• proprietà commutativa: cambiando l’ordine dei fattori il risultato non cambia;
• proprietà associativa: il prodotto di tre o più fattori non cambia sostituendo a due o più fattori il loro prodotto;
• proprietà dissociativa: il prodotto non cambia sostituendo a un fattore più fattori, il cui prodotto è uguale al fattore sostituito;
• proprietà distributiva rispetto all’addizione: per moltiplicare una somma per un numero si moltiplica ogni termine della somma per quel numero e poi si addizionano i risultati parziali, cioè £$(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$£;
• proprietà distributiva rispetto alla sottrazione: per moltiplicare una differenza per un numero si moltiplica ogni termine della differenza per quel numero e poi si sottraggono i risultati parziali.

E poi c’è la mitica legge di annullamento del prodotto: qualsiasi numero moltiplicato per £$ è [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]=0$£. Segui la lezione con gli esempi e poi allenati con gli esercizi!

Cos’è la divisione

L’operazione inversa (nei numeri naturali) della moltiplicazione è la divisione. Ma come si fa? Prendiamo due numeri naturali £$a$£ e £$b$£: la divisione tra £$a$£ e £$b$£ (con £$b≠0$£) è il più grande numero naturale £$q$£ che moltiplicato per £$b$£ dà un numero £$ \le $£ (minore o uguale) ad £$a$£.

Questo numero £$q$£ è il quoziente della divisione, £$a$£ è detto dividendo e £$b$£ è detto divisore.

Ma se facciamo £$ 3 : 2 $£ cosa succede? Non riusciamo a dividere il £$3$£ esattamente in due parti. Quello che rimane è il resto della divisione, ovvero il numero £$r$£ uguale alla differenza di £$a$£ con il prodotto fra £$b$£ e £$q$£ (£$r = a – (b \cdot q)$£).

Esempio: £$ 3 : 2 = 1 $£ con resto £$ r = 3 -(2 \cdot 1) = 3 – 2 = 1 $£

Se £$r = 0$£ il risultato della divisione si chiama quoto o quoziente esatto e significa che il dividendo è multiplo del divisore.

Dividendo qualsiasi numero (in £$ \mathbb{N}$£) per £$1$£ si ottiene sempre il numero stesso, per questo £$1$£ è l’elemento neutro (a destra) della divisione.

Ovviamente la divisione per [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] è impossibile e se dividiamo [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] per un qualunque numero (tranne lo [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] stesso), abbiamo come quoziente [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]

E [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] diviso [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]? E’ un’ operazione indeterminata.

Le proprietà della divisione

Le proprietà della divisione sono:

• proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo i due termini della divisione per uno stesso numero £$ \ne 0$£ il risultato non cambia, mentre il resto, se c’è, è moltiplicato o diviso per lo stesso numero;
• proprietà distributiva rispetto all’addizione: per dividere una somma (dividendo) per un numero £$c$£ (divisore) si può dividere ogni termine della somma per quel numero e poi addizionare i quoti parziali (Attenzione: tutti i termini della somma devono essere divisibili senza resto per £$c$£);
• proprietà distributiva rispetto alla sottrazione: per dividere una differenza (dividendo) per un numero £$c$£ (divisore) si può dividere ogni termine della differenza per quel numero e poi sottrarre i quoti parziali (Attenzione: tutti i termini della differenza devono esser divisibili senza resto per £$c$£).

Interrogazione su moltiplicazione e divisione

Ora che hai scoperto e imparato come fare la moltiplicazione e la divisione tra numeri naturali e tutte le proprietà della moltiplicazione e della divisione, prova a risolvere questi esercizi per prepararti all’interrogazione!

Non ti bastano? Trovi tanti altri esercizi spiegati e svolti sulla moltiplicazione e divisione nella sezione dedicata.

Moltiplicazione e divisione: sfida!

Sfida:

Soluzione:

Ancora alle prese con la valigia! Queste vacanze ti mettono proprio in agitazione… Beh, approfittane per ripassare le moltiplicazioni e le divisioni dei tuoi calzini.
Prova a risolvere la sfida: guarda anche tutti gli altri video e poi controlla se hai trovato la soluzione corretta! Se vuoi allenarti, puoi fare i tre livelli di esercizi tutti svolti e spiegati!