I numeri naturali: moltiplicazione e divisione
La moltiplicazione e la divisione dei numeri naturali (ovvero, l’insieme N) sono due delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali che formano la base della matematica. Queste operazioni, semplici ma potenti, estendono il concetto di addizione e sottrazione, permettendo di eseguire calcoli su quantità maggiori in modo più efficiente e strutturato.
Ora che hai imparato che l’addizione e la sottrazione tra numeri naturali non è banale, che ha importanti caratteristiche e che nell’insieme dei numeri naturali non si può sempre svolgere, facciamo la stessa cosa per la moltiplicazione e divisione.
Scopriamo insieme le altre due operazioni fondamentali in matematica e le loro proprietà! Ascolta le lezioni e allenati con gli esempi e gli esercizi svolti e spiegati su moltiplicazione e divisione dei tre livelli!
- Cos'è la moltiplicazione
- Proprietà della moltiplicazione
- Cos'è la divisione
- Le proprietà della divisione
- Interrogazione su moltiplicazione e divisione
- Esercizi sulle moltiplicazioni
- Moltiplicazione e divisione: sfida!
Cos’è la moltiplicazione
Cos’è la moltiplicazione? Beh è facile. Le tabelline sono un esempio di moltiplicazione tra numeri naturali. Ad esempio "£$3$£ per £$2$£" significa sommare £$3$£ tante volte quante il secondo numero cioè £$2$£. Allora "£$3$£ per £$2$£" è uguale a £$3+3=6$£. Semplice no?
Il risultato della moltiplicazione di due o più numeri è il prodotto. Ma con quale simbolo indichiamo la moltiplicazione? Ce ne sono due: o la x (il per) oppure il pallino £$\cdot$£. Quindi "£$3$£ per £$2$£" sarà £$3 $£ x £$2 $£ oppure £$3 \cdot 2$£
La moltiplicazione è utile quando dobbiamo sommare tante volte la stessa quantità. Ad esempio se abbiamo £$3+3+3+3+3+3+3$£ perdiamo tempo e spazio sul foglio per scrivere tutta l’espressione. Invece se scriviamo £$3\cdot 7$£ abbiamo lo stesso risultato.
Cosa abbiamo fatto? Abbiamo contato quante volte il £$3$£ si ripete (sette volte) e scriviamo la moltiplicazione di £$3$£ per £$7$£
Se moltiplichiamo due o più numeri naturali, il prodotto è sempre un numero naturale: la moltiplicazione è un’operazione interna in £$ \mathbb{N}$£
Proprietà della moltiplicazione
La moltiplicazione ha molte proprietà, che discendono da quelle dell’addizione. In più vale la legge di annullamento del prodotto: qualsiasi numero moltiplicato per £$ è [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]=0$£
Quali sono queste proprietà della moltiplicazione? Eccole qua:
- proprietà commutativa: cambiando l’ordine dei fattori il risultato non cambia;
- proprietà associativa: il prodotto di tre o più fattori non cambia sostituendo a due o più fattori il loro prodotto;
- proprietà dissociativa: il prodotto non cambia sostituendo a un fattore più fattori, il cui prodotto è uguale al fattore sostituito;
- proprietà distributiva rispetto all’addizione: per moltiplicare una somma per un numero si moltiplica ogni termine della somma per quel numero e poi si addizionano i risultati parziali, cioè £$(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$£;
- proprietà distributiva rispetto alla sottrazione: per moltiplicare una differenza per un numero si moltiplica ogni termine della differenza per quel numero e poi si sottraggono i risultati parziali.
E poi c’è la mitica legge di annullamento del prodotto: qualsiasi numero moltiplicato per £$ è [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]=0$£. Segui la lezione con gli esempi e poi allenati con gli esercizi!
Cos’è la divisione
L’operazione inversa (nei numeri naturali) della moltiplicazione è la divisione. Ma come si fa? Prendiamo due numeri naturali £$a$£ e £$b$£: la divisione tra £$a$£ e £$b$£ (con £$b≠0$£) è il più grande numero naturale £$q$£ che moltiplicato per £$b$£ dà un numero £$ \le $£ (minore o uguale) ad £$a$£.
Questo numero £$q$£ è il quoziente della divisione, £$a$£ è detto dividendo e £$b$£ è detto divisore.
Ma se facciamo £$ 3 : 2 $£ cosa succede? Non riusciamo a dividere il £$3$£ esattamente in due parti. Quello che rimane è il resto della divisione, ovvero il numero £$r$£ uguale alla differenza di £$a$£ con il prodotto fra £$b$£ e £$q$£ (£$r = a – (b \cdot q)$£).
Esempio: £$ 3 : 2 = 1 $£ con resto £$ r = 3 -(2 \cdot 1) = 3 – 2 = 1 $£
Se £$r = 0$£ il risultato della divisione si chiama quoto o quoziente esatto e significa che il dividendo è multiplo del divisore.
Dividendo qualsiasi numero (in £$ \mathbb{N}$£) per £$1$£ si ottiene sempre il numero stesso, per questo £$1$£ è l’elemento neutro (a destra) della divisione.
Ovviamente la divisione per 0 è impossibile: se dividiamo per un qualunque numero (tranne lo 0 stesso), abbiamo come quoziente 0.
E £$ 0 : 0 $£? E’ un’ operazione indeterminata.
Le proprietà della divisione
Le proprietà della divisione sono:
- proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo i due termini della divisione per uno stesso numero £$ \ne 0$£ il risultato non cambia, mentre il resto, se c’è, è moltiplicato o diviso per lo stesso numero;
- proprietà distributiva rispetto all’addizione: per dividere una somma (dividendo) per un numero £$c$£ (divisore) si può dividere ogni termine della somma per quel numero e poi addizionare i quoti parziali (Attenzione: tutti i termini della somma devono essere divisibili senza resto per £$c$£);
- proprietà distributiva rispetto alla sottrazione: per dividere una differenza (dividendo) per un numero £$c$£ (divisore) si può dividere ogni termine della differenza per quel numero e poi sottrarre i quoti parziali (Attenzione: tutti i termini della differenza devono esser divisibili senza resto per £$c$£).
Interrogazione su moltiplicazione e divisione
Ora che hai scoperto e imparato come fare la moltiplicazione e la divisione tra numeri naturali e tutte le proprietà della moltiplicazione e della divisione, prova a risolvere questi esercizi per prepararti all’interrogazione!
Non ti bastano? Qui sotto trovi tanti altri esercizi spiegati e svolti sulla moltiplicazione e divisione.
Esercizi sulle moltiplicazioni
Moltiplicazioni semplici
Non ti senti ancora pronto per la verifica sulle moltiplicazioni? Verifica le tue abilità nel calcolo con questi esercizi.
Prova a fare i calcoli a mente: le moltiplicazioni semplici sono molto utili per migliorare le tue abilità, quindi allenati il più possibile! Inizia con dei semplici calcoli fino ad arrivare ai più complessi. Ogni esercizio contiene già la soluzione, ma non usare la calcolatrice, altrimenti ogni sforzo sarà vano.
Scarica qui il PDF:
Proprietà della moltiplicazione
Hai capito come funzionano le moltiplicazioni? Ora scopri le proprietà di questa operazione. Metti alla prova le tue abilità di calcolo con questi esercizi.
Prova a fare i calcoli a mente e allenati il più possibile! Inizia con dei semplici calcoli fino ad arrivare ai più complessi, impara ad appllicare le proprietà commutativa, associativa e distributiva. Ogni esercizio contiene già la soluzione, ma non usare la calcolatrice, altrimenti ogni sforzo sarà vano.
Scarica qui i PDF degli esercizi!
Proprietà commutativa:
Proprietà associativa:
Proprietà distributiva:
Divisioni semplici
Non ti senti ancora pronto per la verifica sulle divisioni? Verifica le tue abilità nel calcolo con questi esercizi.
Prova a fare i calcoli a mente: le divisioni semplici sono molto utili per migliorare le tue abilità, quindi allenati il più possibile! Inizia con dei semplici calcoli fino ad arrivare ai più complessi. Ogni esercizio contiene già la soluzione, ma non usare la calcolatrice, altrimenti tutti i tuoi sforzi risulteranno inutili.
Scarica qui il PDF degli esercizi:
Proprietà invariantiva della divisione
Riesci a risolvere gli esercizi sulla proprietà invariantiva della divisione? Verifica le tue abilità nel calcolo con questi esercizi.
Prova a fare i calcoli a mente: imparare ad appllicare la proprietà invariantiva non solo ti aiuterà a sviluppare le tue abilità di calcolo, ma soprattutto renderà i tuoi calcoli più veloci. Ogni esercizio contiene già la soluzione, ma non usare la calcolatrice, altrimenti ogni sforzo sarà inutile.
Scarica qui i PDF degli esercizi:
L’ordine delle operazioni
Sei preparato sulle espressioni con moltiplicazioni e divisioni? Verifica le tue abilità nel calcolo con questi esercizi.
Prova a fare i calcoli a mente e allenati il più possibile per migliorare le tue competenze! Inizia con dei semplici calcoli fino ad arrivare ai più complessi, ricordandoti l’ordine delle operazioni. Ogni esercizio contiene già la soluzione, ma non usare la calcolatrice, altrimenti ogni sforzo sarà vano.
Scarica qui il PDF degli esercizi:
Moltiplicazione e divisione: sfida!
Sfida:
Soluzione:
Ancora alle prese con la valigia! Queste vacanze ti mettono proprio in agitazione… Beh, approfittane per ripassare le moltiplicazioni e le divisioni dei tuoi calzini.
Prova a risolvere la sfida: guarda anche tutti gli altri video e poi controlla se hai trovato la soluzione corretta! Se vuoi allenarti, puoi fare i tre livelli di esercizi tutti svolti e spiegati!