Sistemi di numerazione e base: cosa sono e a cosa servono
Cosa sono e a cosa servono i sistemi di numerazione? Noi, per esempio, contiamo utilizzando un sistema a base £$10$£ (ha £$10$£ cifre dallo £$ al [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]9$£). Ma come si scrive il numero £$23$£ in base £$4$£? In questa lezione imparerai a esprimere qualsiasi quantità utilizzando diversi sistemi di numerazione!
Hai studiato i numeri in base £$2$£ e quelli in base £$10$£ ma non sai cosa è un sistema di numerazione? Vorresti anche sapere come passare da un numero in base £$b$£, con £$b$£ numero naturale, ad un numero in base £$10$£ e da un numero in base £$10$£ ad uno in base £$b$£ ma non sai come fare?
In questa lezione risolviamo tutti i tuoi dubbi! Vediamo cosa sono i sistemi di numerazione, l’algoritmo delle divisioni successive per passare dalla base £$10$£ alla base £$b$£ e l’algoritmo di Horner per passare dalla base £$b$£ alla base £$10$£!
Le cifre in un sistema di numerazione assumono un valore diverso a seconda della loro posizione, per questo il nostro sistema decimale si chiama posizionale.
Qualsiasi quantità può essere espressa utilizzando diversi sistemi di numerazione. Per farlo usiamo due metodi:
- l’algoritmo delle divisioni successive che serve per passare dalla base £$10$£ a una base diversa, per esempio alla base £$2$£.
- l’algoritmo di Horner che serve per passare da una qualsiasi base alla base £$10$£.
E se vuoi trasformare un numero da una base £$b$£ (£$\ne 10$£) ad una base £$c$£ (£$\ne10$£)? Trasforma il numero da base £$b$£ a base £$10$£ e poi scrivi il numero da base £$10$£ nel numero finale in base £$c$£ mediante l’algoritmo delle divisioni successive.
Guarda i video ed allenati con gli £$11$£ (in base £$2$£) livelli esercizi sui sistemi di numerazione!
- Sistema decimale e posizionale
- Come trasformare un numero dalla base £$10$£ alla base £$b$£
- Come passare dalla base £$b$£ alla base £$10$£
- Interrogazione sui sistemi di numerazione
- Sfida sul sistema binario
Sistema decimale e posizionale
Concetto di base £$10$£
Concetto di posizione
Che cos’è la base di sistema di numerazione? La base di un sistema di numerazione è l’insieme dei simboli (cifre) che il sistema utilizza.Il nostro è un sistema decimale, cioè usa £$10$£ cifre dallo £$ al [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]9$£.
A seconda di come scriviamo un numero le cifre che lo compongono hanno un significato diverso a seconda della loro posizione: scrivere £$234$£ è diverso da £$324$£. In £$234$£ la prima cifra è un £$2$£ che rappresenta le centinaia, il £$3$£ è la decina e il £$4$£ indica le unità. In £$324$£ abbiamo invece £$3$£ centinaia, £$2$£ decine e £$4$£ unità. Le cifre £$2$£ e £$3$£ si scambiano i ruoli nei due numeri!
Se, come per il nostro sistema decimale, le cifre che compongono il numero hanno un diverso significato a seconda della loro posizione il sistema di numerazione si chiamerà sistema di numerazione posizionale!
Ma è possibile scrivere un certo numero in base £$5$£ per esempio? e in base £$17$£? Guarda gli altri video per imparare come esprimere un certo numero in tutte le basi che vuoi!
Come trasformare un numero dalla base £$10$£ alla base £$b$£
Trasformare un numero dalla base £$10$£ ad una qualunque base £$b$£ è faciissimo! Dobbiamo usare l’algoritmo delle divisioni successive: ma come funziona?
- Prendiamo il nostro numero e dividiamolo successivamente per la base £$b$£ in cui vogliamo scriverlo fino ad ottenere come quoziente [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]. La cosa importante è appuntarsi tutti i resti di queste divisioni.
- Ora leggiamo i resti dal basso verso l’alto: questo è il nostro numero trasformato in base £$b$£!
Facciamo un breve esempio per chiarire ogni possibile dubbio: vogliamo trasformare £$23$£ (base £$10$£) in base £$5$£:
- £$23:5=4$£ con resto £$3$£
- £$4:5=0$£ con resto £$4$£
Quindi £$23_{10}$£ si trasforma nel numero £$43_{5}$£!
Come passare dalla base £$b$£ alla base £$10$£
Ma se ora vogliamo tornare indietro? Abbiamo un numero in base £$b$£ e vogliamo sapere come si scrive in base £$10$£, come facciamo? Si usa un altro algoritmo: l’algoritmo di Horner!
Per esempio trasformiamo il numero £$134$£ dalla base £$5$£ alla base £$10$£:
- prendiamo la cifra più a sinistra e moltiplichiamo per la base che è £$5$£. Quindi £$1\cdot 5=5$£ e sommiamo questo numero con la seconda cifra, che è £$3$£. Allora abbiamo £$1\cdot 5 + 3=8$£
- ora moltiplichiamo il risultato ottenuto per la base e sommiamo questo numero alla terza cifra di £$134$£, quindi £$8\cdot 5+4=44$£
Quindi il numero £$134_{5}$£ è il numero £$44$£ in base £$10$£!
Ora ti starai chiedendo: e se volessi trasformare un numero dalla base £$4$£ alla base £$16$£ come si fa?
Devi prima scrivere il numero in base £$10$£ usando l’algoritmo di Horner e poi tramite l’algoritmo delle divisioni successive esprimerlo nella base che volevi.
Interrogazione sui sistemi di numerazione
Ecco una prima breve e facile interrogazione per capire se hai fissato bene tutti i concetti di questa lezione: concetto di base, concetto di posizione e algoritmo delle divisioni successive! Potrebbero essere le domande che ti farà il prof in classe!
Dopo aver risposto a questi quesiti sarai prontissimo per affrontare i tre livelli di esercizi!
Sfida sul sistema binario
Sfida:
Soluzione:
Una sfida sul sistema binario! Hai inventato un programma per il tuo computer che ti dice quante camicie hai nell’armadio. Purtroppo il numero che ti dà il pc è in binario, come fai a tradurlo? Prova a risolvere la sfida! Se non ci riesci guarda la soluzione e i video della lezione, così sarai in grado di trasformare un qualsiasi numero nella base che vuoi tu!