Rette e parabola: posizioni reciproche

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Impara le posizioni reciproche tra retta e parabola!

Attraverso l’uso di equazioni e analisi grafica, ci addentreremo nelle condizioni che definiscono ciascuna di queste situazioni, fornendo strumenti per determinare non solo il numero di punti di intersezione, ma anche le loro coordinate specifiche quando esistono.

Vuoi imparare le posizioni possibili fra rette e parabole? Cosa vuol dire e quando si verifica che una retta è esterna, tangente o secante ad una parabola? Quando usare la formula di sdoppiamento?

Ora che conosci bene le equazioni e le particolarità della parabola, sei pronto a studiare le sue posizioni rispetto ad una retta.

Posizioni reciproche retta-parabola
Il caso delle rette tangenti
Formula di sdoppiamento
Esercizi su retta e parabola
Sfida su retta e parabola

Posizioni reciproche retta-parabola

Prendiamo una parabola con asse parallelo all’asse £$y$£ e una retta generica di equazione £$y=mx+q$£. Mettendole a sistema si trova un’equazione risolvente di secondo grado in cui se:

il delta è maggiore di zero (£$ \Delta>0$£): il sistema ha due soluzioni. Retta e parabola si incontrano in due punti e sono secanti;
il delta è nullo (£$ \Delta=0$£): la retta interseca la parabola in un punto (doppio) e si dice tangente;
il delta è negativo ([iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]\Delta esterna alla parabola quindi non hanno punti in comune.

E cosa succede con le rette parallele all’asse di simmetria della parabola? Queste rette non sono esprimibili tramite l’equazione implicita della retta.
Intersecandole con una parabola il sistema ha una soluzione unica, quindi la retta non è tangente (altrimenti le soluzioni sarebbero due coincidenti) ma è secante in un solo punto.

Il caso delle rette tangenti

Quante rette di un fascio proprio di centro £$P$£ possono essere tangenti ad una parabola? Dipende dalla posizione del punto rispetto alla parabola.

Se £$P$£ è esterno, troviamo due rette tangenti
Se £$P$£ appartiene alla parabola, troviamo una retta tangente
Se £$P$£ è interno, nessuna retta del fascio è tangente.

Risolvendo un sistema come quello già visto, possiamo verificare questi casi.

Formula di sdoppiamento

La formula di sdoppiamento permette di trovare la retta tangente ad una parabola dato un suo punto £$P$£.

A partire dall’intersezione fra una generica parabola ed il fascio di rette di centro £$P$£, tramite alcuni calcoli algebrici si ottiene l’equazione della retta tangente in £$P$£ tramite la formula: £$\frac{y+y_0}{2}=ax_0x+b\frac{x+x_0}{2}+c$£
Si chiama “formula di sdoppiamento” in quanto si ottiene “sdoppiando” le incognite dell’equazione della parabola.