Parabola traslata: definizione e grafico
Una parabola traslata è una figura geometrica che rappresenta una variazione della parabola standard, uno dei concetti fondamentali in matematica e geometria. Mentre una parabola classica ha il suo vertice nell’origine del sistema di coordinate, una parabola traslata si ottiene spostando questa curva lungo l’asse delle ascisse o delle ordinate, o entrambi. Questo spostamento, o traslazione, modifica la posizione della parabola nello spazio, ma non altera la sua forma fondamentale.
La rappresentazione grafica di una parabola traslata è essenziale per visualizzare il suo comportamento e le sue proprietà. Per disegnare una parabola traslata, si parte dall’identificare il suo vertice, che non è più nell’origine (0,0), ma si è spostato a un nuovo punto (h,k). L’equazione di una parabola traslata spesso assume la forma y = a(x – h)² + k, dove “a" determina l’ampiezza e la direzione (verso l’alto o verso il basso) della parabola, e (h,k) rappresenta le coordinate del nuovo vertice.
Per tracciare la parabola, si comincia collocando il vertice nel punto (h,k) sul sistema di coordinate. Successivamente, si utilizza il coefficiente “a" per determinare la direzione e l’apertura della parabola. Se “a" è positivo, la parabola si apre verso l’alto; se è negativo, si apre verso il basso. L’ampiezza della parabola, ovvero quanto è “stretta" o “larga", dipende dal valore assoluto di “a".
Ma vediamo insieme come fare più nel dettaglio!
Equazione della parabola traslata
Una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse £$y$£ può essere vista come una parabola con asse di simmetria sull’asse £$y$£ e vertice nell’origine traslata di un dato vettore.
Applicando le equazioni della traslazione alla parabola di equazione £$y=ax^2$£, otteniamo l’equazione della parabola traslata: £$y=ax^2+bx+c$£.
Cosa cambia?
- Il coefficiente a (concavità e apertura) non cambiano
- Il fuoco ha coordinate £$F\left(-\frac{b}{2a}; \frac{1-\Delta}{4a} \right)$£
- La direttrice ha equazione £$y=-\frac{1+\Delta}{4a}$£
- Il vertice diventa £$V\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right)$£;
- L’asse di simmetria ha equazione £$x=-\frac{b}{2a}$£
Parabola con asse parallelo all’asse x
Esistono parabole con asse di simmetria parallelo all’asse £$x$£.
Ognuna di queste può essere vista come una simmetria rispetto alla retta £$y=x$£ della parabola congruente con asse parallelo all’asse £$y$£.
Basta invertire la £$x$£ con la £$y$£ nell’equazione della parabola con asse parallelo all’asse £$y$£ per ottenere la nuova equazione: £$x=ay^2+by+c$£
Nello stesso modo troviamo:
- le coordinate di vertice £$ V\left(-\frac{\Delta}{4a}; -\frac{b}{2a} \right) $£ e fuoco £$F \left(\frac{1-\Delta}{4a}; -\frac{b}{2a} \right) $£,
- Le equazioni di direttrice £$d: x= -\frac{1+\Delta}{4a}$£ e asse di simmetria £$y=-\frac{b}{2a}$£
Il coefficiente £$a$£ indica ancora la concavità ma sarà:
- £$a>0$£: la concavità è verso destra;
- [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]a
Altri casi particolari di parabola e grafico della parabola
I coefficienti £$a, b$£ e £$c$£ danno informazioni sul grafico della parabola.
Analizziamo solo la parabola con asse parallelo all’asse £$y$£, per simmetria rispetto alla retta £$y=x$£ troviamo le rispettive informazioni per la parabola con asse parallelo all’asse £$x$£.
Attenzione! Il coefficiente £$a$£ è diverso da zero sempre, altrimenti non si avrebbe una parabola ma una retta.
Se £$c$£ è nullo (£$c=0$£) la parabola passa per l’origine £$O$£ degli assi.
Se £$c$£ non è nullo (£$c\ne0$£), indica che il grafico della parabola si sposta lungo una retta parallela all’asse £$y$£.
Partendo dall’equazione di una parabola traslata con asse parallelo all’asse £$y$£, se £$c$£ aumenta troviamo uno spostamento verso l’alto, se diminuisce uno verso il basso.
Se £$b$£ e £$c$£ sono nulli (£$c=0$£ e £$b=0$£) il grafico è quello della parabola con asse di simmetria sull’asse £$y$£ e vertice nell’origine.
Esercizi sul grafico della parabola
Mettiti alla prova risolvendo questi esercizi sul grafico della parabola traslata e alcuni casi particolari!
Sfida sul grafico della parabola
Testo della sfida
Soluzione alla sfida
Prova a risolvere la sfida matematica di questa lezione!