L'equazione di una parabola data una retta tangente

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Individuare l’equazione di una parabola data una retta tangente è un problema classico in geometria analitica e calcolo differenziale, che mostra l’intersezione affascinante tra diverse aree della matematica. La relazione tra una parabola e una retta tangente a essa rivela informazioni importanti sulla natura della parabola stessa, come la sua orientazione, posizione e apertura.

Una parabola è una curva conica che può essere descritta da un’equazione quadratica. La caratteristica distintiva di una parabola è che ogni punto su di essa è equidistante da un punto fisso, chiamato fuoco, e da una linea fissa, chiamata direttrice. La retta tangente, d’altra parte, è una linea che tocca la parabola in un solo punto, senza intersecarla. Questo punto di tangenza è essenziale per determinare le proprietà della parabola.

Per trovare l’equazione di una parabola data una retta tangente, si utilizzano metodi algebrici e di calcolo. Un approccio comune è prima trovare il punto di tangenza utilizzando le equazioni della retta e della parabola e poi applicare le condizioni di tangenza. In termini di calcolo, questo significa risolvere il sistema di equazioni formato dall’equazione della parabola e dalla derivata della parabola, che rappresenta la pendenza in un punto dato.

La derivata della parabola in un punto specifico dovrebbe corrispondere alla pendenza della retta tangente. Questa condizione permette di stabilire un legame tra le coordinate del punto di tangenza e i parametri dell’equazione della parabola. Una volta trovato il punto di tangenza e applicate le condizioni di tangenza, si può ricavare l’equazione della parabola.

Vediamo insieme come trovarla!

Come trovare l'equazione della parabola data una retta tangente
Esercizi sull'equazione della parabola data una retta tangente

Come trovare l’equazione della parabola data una retta tangente

Vogliamo ora trovare la parabola £$y=ax^2+bx+c$£ tangente ad una retta data.
La condizione che abbiamo con questa informazione è quella di tangenza, che è uguale ad imporre delta £$=0$£ nell’equazione risolvente del sistema formato da retta e parabola.

Questa condizione si può combinare con altre due, per esempio imponiamo che la parabola passi per altri due punti (ma va bene anche la conoscenza di uno o più elementi principali della curva!). Sostituiamo queste due condizioni nell’equazione generale della parabola e le mettiamo a sistema. Troviamo così un’equazione risolvente con incognita una sola fra £$a, b$£ e £$c$£ che rappresenta tutte le parabole passanti per quei due punti.
Intersechiamo questa equazione con la retta conosciuta e sfruttiamo la condizione di tangenza.
Risolvendo troviamo l’incognita e sostituendo troviamo i coefficienti della parabola, che ora è unica!

Esercizi sull’equazione della parabola data una retta tangente

Trova l’equazione della parabola! Allenati con questi esercizi per trovare l’equazione della parabola in base alle informazioni fornite dal testo dell’esercizio!