Le tre condizioni per trovare l'equazione di una parabola
L’identificazione e la rappresentazione di una parabola, una delle figure più importanti della geometria analitica, richiedono la conoscenza di tre condizioni chiave. Queste condizioni fungono da pilastri fondamentali nella determinazione delle caratteristiche uniche della parabola, quali la sua forma, posizione e orientamento nel piano cartesiano.
Quali sono queste tre condizioni per trovare una parabola? Come possiamo trovarle? Possiamo combinarle fra loro? Impariamo a trovare l’equazione di una parabola conoscendo alcune sue caratteristiche come il fuoco, il vertice, la direttrice, l’asse o un punto.
Comprendere e applicare queste tre condizioni consente di tracciare una parabola con precisione, vediamole subito!
- Cos'è una parabola
- Condizioni per trovare una parabola
- Parabola a partire dai suoi elementi principali
- Equazione della parabola dato un punto
Cos’è una parabola
La parabola è una delle forme più fondamentali incontrate nella geometria analitica e nel calcolo, definita come il luogo geometrico di tutti i punti che si trovano alla stessa distanza da un punto fisso, chiamato fuoco, e da una retta fissa, nota come direttrice.
In termini più pratici, una parabola può essere rappresentata come il grafico di una funzione quadratica di forma y=ax2+bx+c, dove a, b, e c sono coefficienti reali, con a diverso da zero. La forma della parabola (concava verso l’alto o verso il basso) e la sua posizione nel piano cartesiano sono determinate da questi coefficienti.
Condizioni per trovare una parabola
Trovare l'equazione di una parabola dagli elementi principali e dato un punto - Galleria
Per determinare univocamente l’equazione di una generica parabola abbiamo bisogno di tre condizioni, tante quanti i coefficienti dell’equazione: £$a, b$£ e £$c$£.
Dobbiamo sostituire le tre condizioni nell’equazione generica della parabola e troviamo tre equazioni nelle incognite £$a, b$£ e £$c$£.
Poiché le condizioni descrivono la stessa parabola, devono valere contemporaneamente: dobbiamo inserirle in uno stesso sistema o metterne a sistema due e poi applicare all’equazione risolvente la terza condizione.
Parabola a partire dai suoi elementi principali
Trovare l'equazione di una parabola dagli elementi principali e dato un punto - Galleria
Vogliamo trovare la parabola con asse parallelo all’asse delle £$y$£ e della quale conosciamo almeno uno tra:
- ll fuoco £$F\left(-\frac{b}{2a}; \frac{1-\Delta}{4a} \right)$£
- La direttrice £$y=-\frac{1+\Delta}{4a}$£
- Il vertice £$V\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right)$£
- L’asse di simmetria £$x=-\frac{b}{2a}$£
Le formule dell’ascissa e dell’ordinata del vertice o del fuoco sono due condizioni sui coefficienti della parabola.
Un’informazione si può anche avere se si conosce l’equazione della direttrice o dell’asse di simmetria e si sostituiscono le rispettive formule.
Equazione della parabola dato un punto
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Un punto appartiene a una conica se, sostituendo le sue coordinate al posto della £$x$£ e della £$y$£ nell’equazione della curva, si ottiene un’identità.
Una condizione per trovare la parabola è quindi quella dell’appartenenza del punto: dato un punto £$P$£, vogliamo trovare la parabola con asse di simmetria parallelo all’asse £$y$£ che passi per quel punto. Otteniamo un’equazione con incognite £$a, b$£ e £$c$£ e cerchiamo i loro valori affinché sia verificata l’identità.
Per avere tre condizioni puoi combinarla con:
- l’appartenenza di altri due punti non allineati (per tre punti non allineati passa una sola parabola!)
- le coordinate del fuoco o del vertice
- l’equazione dell’asse o della direttrice
- l’equazione dell’asse e un punto
Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.