Funzioni continue: teorema degli zeri e di Weierstrass
Le funzioni continue sono importanti in matematica, essendo essenziali per comprendere il comportamento e le proprietà delle relazioni matematiche.
In questo articolo, esploreremo il concetto di funzioni continue, concentrandoci in particolare su due importanti teoremi: il teorema degli zeri e il teorema di Weierstrass. Attraverso l’analisi di questi teoremi, scopriremo come le funzioni continue giocano un ruolo chiave nel determinare le proprietà dei loro zeri e come il teorema di Weierstrass fornisce importanti informazioni sulla continuità delle funzioni su intervalli chiusi e limitati. Entrambi ci aiutano a capire se stiamo studiando correttamente una funzione e sono utili per dimostrare i teoremi delle derivate e alcuni degli integrali.
Pronti a immergerci nel mondo delle funzioni continue e dei loro teoremi fondamentali? Continua a leggere per saperne di più!
Teorema degli zeri
Teoremi sulle funzioni continue: teorema degli zeri e teorema di Weierstrass - esempi - Galleria
Il teorema degli zeri assicura che il grafico di una funzione continua che assume valori positivi e negativi in un intervallo [a,b] interseca l’asse x almeno una volta. Tutte le funzioni che rispettano questa proprietà sono continue nell’intervallo [a,b] e tali che £$f(a) \cdot f(b) <0$£.
Con il teorema degli zeri possiamo dimostrare che tutti i polinomi di grado dispari si annullano almeno una volta. Gli esercizi svolti ti aiuteranno a prepararti per i quesiti della maturità.
Teorema di Weierstrass
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L’enunciato del teorema di Weierstrass dice che ogni funzione f continua nell’intervallo [a,b] chiuso e limitato ammette massimo e minimo assoluti nell’intervallo [a,b].
Il massimo assoluto di una funzione è il più grande valore assunto dalla funzione nel dominio, il minimo assoluto, invece, è il più piccolo valore assunto dalla funzione nel dominio. Se anziché considerare tutto il dominio prendiamo solo un suo sottoinsieme, allora troviamo i valori massimi e minimi assunti dalla funzione in quel sottoinsieme. Questi punti si chiamano massimi e minimi relativi.
Ricorda che il teorema di Weierstrass è una condizione sufficiente ma non necessaria cioè se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato allora ammette massimo e minimo assoluti, ma esistono funzioni non continue in un intervallo chiuso e limitato che ammettono massimo e minimo assoluti nell’intervallo considerato.
Esercizi sui teoremi sulle funzioni continue
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Per capire bene il teorema degli zeri e il teorema di Weierstrass devi allenarti.
Qui trovi alcuni esercizi fatti apposta per questo. Ne trovi altri nei tre livelli della lezione!
Sfida: teoremi sulle funzioni continue
Testo e soluzione della sfida:
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È mai possibile che questo router non funzioni mai?!? Ora ne prendi un altro, ma devi comunque sistemarlo nel punto giusto se vuoi che funzioni bene. E per farlo ti saranno utili i teoremi sulle funzioni continue. Ce la farai?!