I limiti: o piccolo, infinitesimi e calcolo asintotico

L’analisi asintotica e il concetto di “o piccolo” sono strumenti essenziali nel calcolo dei limiti e nell’analisi del comportamento delle funzioni matematiche.

Questi concetti permettono di esprimere la crescita di una funzione e di confrontarne il comportamento al tendere verso un certo punto o all’infinito, offrendo una visione semplificata ma profondamente significativa delle tendenze a lungo termine di una sequenza o di una funzione.

In questo articolo vedremo anche come calcolare i limiti del rapporto tra infinitesimi con l’asintotico, usando cioè gli infinitesimi equivalenti.

• Gli infinitesimi e il loro ordine
• Come calcolare l'ordine di un infinitesimo
• Gerarchia tra infinitesimi
• o piccolo: definizione
• Le proprietà di o piccolo
• Parte principale e parte complementare di un infinitesimo

Gli infinitesimi e il loro ordine

Definizione di infinitesimo per £$x\to x_0$£

Un infinitesimo, per £$x \to x_0$£, è una funzione £$f(x)$£ che ha limite uguale a £$ quando [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]x\to x_0$£.

Capita spesso di calcolare limiti che presentano la forma indeterminata £$\frac{0}{0}$£ che non sono altro che limiti di rapporti tra infinitesimi. In questa lezione vediamo come calcolare questi limiti velocemente, senza bisogno di ricorrere a tecniche strane.

Ciò che ci interessa è calcolare i limiti di rapporti tra infinitesimi, cioè calcolare i limiti del tipo £$\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}$£ con £$f(x)$£ e £$g(x)$£ entrambi infinitesimi per £$x\to x_{0}$£.

Per farlo, dobbiamo capire quale funzione “va a [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] più velocemente”. Dobbiamo quindi calcolare l’ordine di infinitesimo:

• se £$\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell \ne 0$£ e finito, allora £$f(x)$£ e £$g(x)$£ sono infinitesimi dello stesso ordine, cioè arrivano a [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] alla stessa velocità.
  Esempio: £$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2+2x}{x}=2$£ e le due funzioni sono infinitesimi dello stesso ordine
• se £$\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$£ allora £$f(x)$£ è un infinitesimo di ordine superiore a £$g(x)$£, cioè £$f(x)$£ arriva a £$ prima di [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]g(x)$£.
  Esempio: £$\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)^3}{x-1}=0$£ quindi £$f(x)=(x-1)^2$£ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a £$g(x)=x-1$£
• se £$\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\pm \infty$£ allora £$f(x)$£ è un infinitesimo di ordine inferiore a £$g(x)$£, cioè £$f(x)$£ arriva a £$ più lentamente di [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]g(x)$£.
  Esempio: £$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x(x+1)}{x^3}=+\infty$£ quindi £$f(x)=x(x+1)$£ è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a £$g(x)=x^3$£
• se £$\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}$£ non esiste, allora gli infinitesimi £$f(x)$£ e £$g(x)$£ non sono confrontabili.

Come calcolare l’ordine di un infinitesimo

Prendiamo un infinitesimo £$f(x)$£ per £$x \to x_0$£. Come facciamo a calcolare il suo ordine di infinitesimo? Confrontiamolo con un infinitesimo campione £$\varphi(x)$£ (si legge “fi di x”) che ha la forma:

• £$\varphi(x)=x-x_0$£ se £$x\to x_0$£$£
• £$\varphi(x)=\frac{1}{x}$£ se £$x\to \infty$£

Allora diciamo che £$f(x)$£ è un infinitesimo di ordine £$\alpha > 0 $£ se £$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{[\varphi(x)]^{\alpha}}=\ell \ne 0$£

ESEMPIO: calcoliamo l’ordine di infinitesimo della funzione £$f(x)=x^3sen\,x$£ per £$x\to 0$£. In questo caso, £$x_0=0$£ quindi prendiamo la funzione campione £$\varphi(x)=x$£ e calcoliamo il limite del rapporto £$\frac{f(x)}{\varphi(x)^{\alpha}}$£ per £$x\to 0$£. Vogliamo trovare £$\alpha$£ in modo che il limite sia finito e diverso da [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]:

£$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3sen\,x}{x^{\alpha}}$£

Osserviamo che, se dividessimo il fattore £$x^3$£ per se stesso, il limite del rapporto sarebbe uguale a £$1$£. Quindi £$\alpha \ge 3$£. Ma come ci comportiamo con il fattore £$sen\,x$£? Usiamo i limiti notevoli! Sappiamo che £$\lim\limits_{x\to 0}\frac{sen\,x}{x}=1$£ quindi per il secondo fattore basta avere £$1$£ all’esponente. Allora sommiamo i due esponenti richiesti e risulta £$\alpha=3+1=4$£. L’ordine di infinitesimo della funzione £$f(x)=x^3sen\,x$£ è £$\alpha=4$£.

Gerarchia tra infinitesimi

Come confrontare gli infinitesimi? Esiste una gerarchia tra questi? Certo che esiste! In questo modo, è possibile trovare subito il risultato quando calcoliamo il rapporto tra infinitesimi. Per trovare questa gerarchia però usiamo gli infiniti, cioè quelle funzioni che hanno limite infinito.

Se £$x\to +\infty$£, £$p,q>0$£, £$a>1$£ allora vale questa gerarchia di infiniti:

[iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]\ln^{p}x Per gli infinitesimi, basta fare il reciproco di ogni singola funzione e invertire il verso. Abbiamo quindi la gerarchia degli infinitesimi:

£$\frac{1}{\ln^{p}x} >> \frac{1}{x^q} >> \frac{1}{x^{q+1}} >> \frac{1}{a^x} >> \frac{1}{x^x}$£

ESEMPIO: calcoliamo il limite £$\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{\sqrt{x}+x^2}{x^3-x}$£

Stiamo quindi calcolando un limite che è un rapporto tra infinitesimi: infatti, sia il numeratore che il denominatore vanno a zero per £$x\to 0$£. Ma chi va a zero più velocemente? Usiamo la gerarchia tra infinitesimi! Vediamo che se abbiamo la £$x$£ elevato a un numero, va a zero più velocemente se l’esponente è maggiore. Quindi al numeratore £$x^2$£ va a zero più velocemente di £$\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}$£. Possiamo anche dire che £$x^2$£ è £$o(x^{\frac{1}{2}})$£. Al denominatore vale lo stesso discorso. £$x^3$£ va a zero più rapidamente di £$x$£. Quindi nel calcolo di limite “sopravvivono” £$\sqrt{x}$£ al numeratore e £$-x$£ al denominatore:

£$\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x}+x^2}{x^3-x}=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x}}{-x}$£

Ora vediamo che il denominatore va a zero più velocemente del numeratore, quindi il limite vale £$-\infty$£ (meno perché al denominatore c’è appunto il meno), cioè £$x$£ è un infinitesimo di ordine superiore a £$\sqrt{x}$£.

o piccolo: definizione

Siano £$f$£ e £$g$£ due funzioni reali e infinitesime per £$x$£ che tende a £$x_0$£, cioè £$\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = \lim\limits_{x\to x_0} g(x) = 0$£.

Diciamo che £$f = o(g)$£ (e si legge “f è o-piccolo di g”) se £$\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$£, cioè dire che £$f = o(g)$£ significa che la funzione £$f$£ si annulla più rapidamente della funzione £$g$£ per £$x$£ che tende a £$x_0$£ cioè £$f$£ è un infinitesimo di ordine superiore a £$g$£.

Principio di sostituzione degli infinitesimi

Vediamo un’applicazione utile per il calcolo dei limiti.

Siano £$f, f_1, g$£ e £$g_1$£ funzioni infinitesime per £$x$£ che tende a £$x_0$£ e sia inoltre £$f_1 = o(f)$£ e £$g_1 = o(g)$£.
Allora £$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x) + f_1(x)}{g(x) + g_1(x)} = \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$£

In pratica, il teorema ci dice che nel calcolo dei limiti con gli infinitesimi, possiamo trascurare gli infinitesimi di ordine superiore perché non modificano il valore del limite in quanto vanno a zero molto velocemente.

Le proprietà di o piccolo

Vediamo come funzione l’algebra degli o piccolo:

• £$o(x^n)\pm o(x^n)=o(x^n)$£
• £$c\cdot o(x^n)=o(x^n)$£
• £$x^m \cdot o(x^n)=o(x^{n+m})$£
• £$o(x^m) \cdot o(x^n)=o(x^{n+m})$£
• £$o(o(x^n))=o(x^{n})$£
• £$o(x^n + o(x^n))=o(x^{n})$£

Parte principale e parte complementare di un infinitesimo

Vediamo un’applicazione di quello che abbiamo visto prima riguardo gli infinitesimi.

Prendiamo una funzione £$f(x)$£ tale che £$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\ell$£. Dalla definizione di limite, sappiamo che vale £$\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)-\ell)=0$£. Allora la funzione £$\delta(x)=f(x)-\ell$£ è un infinitesimo per £$x\to x_0$£.

Cosa ci dice questo? Riscriviamo £$\delta(x)=f(x)-\ell$£ isolando £$f(x)$£ e abbiamo £$f(x)=\ell+\delta(x)$£. Abbiamo quindi riscritto la nostra funzione come il limite per £$x\to x_0$£ della funzione più un infinitesimo.

Applichiamo questo risultato a ciò che abbiamo visto prima. Prendiamo una funzione £$f(x)$£, infinitesimo di ordine £$\alpha$£ per £$x\to x_0$£. Abbiamo visto che questo è equivalente a scrivere £$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{[\varphi(x)]^{\alpha}}=\ell \ne 0$£. Sappiamo, per quanto detto prima, che esiste un infinitesimo £$\delta(x)$£ per £$x\to x_0$£ tale che £$\frac{f(x)}{[\varphi(x)]^{\alpha}}=\ell+\delta(x)$£. Ora isoliamo la funzione £$f$£ e abbiamo

£$f(x)=\ell \cdot [\varphi(x)]^{\alpha}+\delta(x)[\varphi(x)]^{\alpha}$£

Chiamiamo parte principale la funzione £$\ell \cdot [\varphi(x)]^{\alpha}$£ e parte complementare £$\delta(x) [\varphi(x)]^{\alpha}$£

Per come abbiamo ragionato, la parte principale è un infinitesimo dello stesso ordine della funzione £$f(x)$£ mentre la parte complementare è un infinitesimo di ordine superiore a £$f(x)$£.

A cosa serve tutto ciò? Diciamo che la funzione è la parte principale sono due infinitesimi equivalenti, cioè £$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{\ell[\varphi(x)]^{\alpha}}=1$£. Questo ci dice che, avvicinandosi a £$x_0$£, la funzione e la parte principale sono, praticamente, la stessa cosa. L’errore che si commette nell’approssimazione è uguale alla parte complementare e diventa sempre più piccolo man mano che ci avviciniamo a £$x_0$£.

ESEMPIO: sappiamo che £$\lim\limits_{x\to 0}\frac{sen\,x}{x}=1$£ quindi possiamo scrivere £$\frac{sen\,x}{x}=1+\delta(x)$£ con £$\delta(x)\to 0 $£ per £$x\to 0$£. Allora £$sen\,x=x+x\delta(x)$£. Questo significa che vicino a £$ la funzione [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]sen\,x$£ e £$x$£ assumono “praticamente” gli stessi valori, con un errore minimo. Possiamo scrivere che £$sen\,x \sim x$£ in un intorno di £$x=0$£. A conferma di ciò, vediamo come i grafici di queste due funzioni sono pressoché identici vicino a [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/], ma l’errore aumenta man mano che ci allontaniamo da questo valore.