Limiti notevoli, infiniti e infinitesimi: i teoremi
In analisi matematica lo studio dei limiti è legato alla continuità di una funzione. In alcuni casi, come quello delle forme indeterminate il calcolo dei limiti e quindi lo studio della continuità può risultare difficile. Come risolvere le forme indeterminate? Abbiamo già visto alcuni metodi algebrici, ma se questi non bastano, usa i limiti notevoli e il confronto fra infiniti e infinitesimi.
I limiti notevoli, come i prodotti notevoli, sono dei limiti particolari dei quali puoi imparare a memoria il risultato. Sono tutti dimostrati e spiegati con degli esercizi svolti.
Per quelle forme indeterminate che non riesci a superare nemmeno con i limiti notevoli puoi provare il confronto fra infiniti o infinitesimi.
Una funzione che tende a zero quando £$x$£ tende a £$x_0$£, è un infinitesimo, se invece tende a infinito è un infinito.
Il confronto fra infiniti e infinitesimi è fondamentale nella soluzione di forme indeterminate come infinito su infinito e zero su zero. Prima di usare i limiti per calcolare gli asintoti e i punti di discontinuità impara a calcolarli con i teoremi e gli esercizi svolti.
- Teoremi sui limiti
- Cosa sono i limiti notevoli
- Infiniti e infinitesimi
- Esercizi sui limiti notevoli
- Sfida sui limiti notevoli
Teoremi sui limiti
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Per calcolare i limiti, possono esserti utili alcuni teoremi. Qui ne trovi due (forse quelli più utili nel calcolo).
Il teorema del confronto (o dei due carabinieri) permette di confrontare il limite di due funzioni ed è utile quando non sappiamo calcolare il limite di una funzione £$f(x)$£ oppure quando il calcolo del limite è complicato e riusciamo a trovare il risultato tramite due funzioni ausiliarie.
Il teorema della permanenza del segno dice che se £$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=l>0$£ allora esiste un intorno del punto £$x_0$£ tale che £$f(x)>0$£ per ogni £$x$£ appartenente all’intorno. Quindi vicino al punto £$x_0$£ la funzione ed il suo limite hanno lo stesso segno.
Cosa sono i limiti notevoli
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I limiti notevoli sono limiti di funzioni che servono a velocizzare il calcolo di altri limiti:
- £$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{sen \ x}{x}=1$£;
- £$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{1- cos \ x}{x}=0$£;
- £$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{1-cos \ x}{x^2}=\frac{1}{2}$£;
- £$ \lim\limits_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x} \right)^x=e$£.
Tutti i limiti notevoli si dimostrano tramite le regole della goniometria, il teorema del confronto e della permanenza del segno.
I limiti notevoli servono per risolvere le forme indeterminate, in particolare quella della forma £$1^{\infty}$£.
Infiniti e infinitesimi
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Cosa sono gli infiniti e gli infinitesimi? Sono dei nomi che diamo alle funzioni a seconda che:
- il limite per £$x \to x_0$£ sia infinito. In questo caso la funzione è un infinito;
- il limite per £$x \to x_0$£ sia uguale a zero. In questo caso la funzione è un infinitesimo.
Ci sono funzioni che tendono a infinito o a zero più "velocemente" di altre, più correttamente si dice che ci sono infiniti e infinitesimi di ordine superiore. Sapere in che ordine le funzioni tendono a infinito o a zero e avere quindi un confronto fra infiniti e infinitesimi ci aiuta a risolvere forme indeterminate del tipo £$\frac{\infty}{\infty}$£ o £$\frac{0}{0}$£ che chiamiamo anche rapporto tra infiniti o tra infinitesimi rispettivamente.
Esercizi sui limiti notevoli
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Il calcolo dei limiti con i limiti notevoli è molto importante perché ti permette di calcolare i limiti meglio e più velocemente, risolvendo facilmente le forme indeterminate. Allenati anche con il calcolo del limite di un rapporto tra infiniti o infinitesimi.
Sfida sui limiti notevoli
Testo:
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Soluzione:
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Prova a risolvere la sfida sui limiti notevoli!