Esistenza e unicità della perpendicolare: teorema

Cosa sono due rette incidenti? Quando sono perpendicolari e quando sono oblique? "Perpendicolare" e "incidente" sono concetti che usi tutti i giorni, persino per dare indicazioni stradali. Ora sai che derivano dalla geometria e puoi collegarli alle definizioni di rette incidenti perpendicolari e oblique.

Vuoi sapere se la perpendicolare per un punto è unica o se ne esiste più di una? Lo vedremo in questa lezione, studiando il teorema di esistenza e unicità della perpendicolare.

In questa video lezione imparerai:

• Definizione di rette incidenti e perpendicolari: cosa sono e quali proprietà hanno;
• Teorema di esistenza e unicità della perpendicolare: quando esiste una retta perpendicolare e quante ne passano per un dato punto del piano

• Definizione di rette incidenti e perpendicolari
• Teorema di esistenza e unicità della perpendicolare
• Interrogazione su rette incidenti e perpendicolari
• Sfida sulle rette incidenti e perpendicolari

Definizione di rette incidenti e perpendicolari

Due rette sono:

• incidenti se si incontrano in un punto;
• coincidenti (cioè una sopra l’altra) se si incontrano in almeno 2 punti.

Due rette incidenti dividono il piano in:

• due coppie di angoli opposti al vertice congruenti tra loro;
• angoli tutti congruenti e retti: £$ \frac{360°}{4}=90° $£.

Due rette sono oblique quando sono incidenti ma non perpendicolari.

Teorema di esistenza e unicità della perpendicolare

Teorema di esistenza e unicità: "Per un punto del piano passa una e una sola retta perpendicolare ad una retta data".
La dimostrazione del teorema di unicità delle perpendicolari si divide in due casi, e in tutti e due i casi si dimostra prima l’esistenza e poi l’unicità della perpendicolare ad una retta per un punto dato.

• Caso 1: se il punto £$P$£ appartiene alla retta £$r$£
  • Per dimostrare l’esistenza costruiamo un triangolo isoscele con la base sulla retta £$r$£ e sfruttiamo la proprietà del triangolo isoscele per cui l’altezza è anche mediana e bisettrice.
  • Dimostriamo l’unicità sfruttando l’unicità della bisettrice.
• Caso 2: se il punto £$P$£ non appartiene alla retta £$r$£
  • Dimostriamo l’esistenza costruendo un triangolo isoscele che ha come lato obliquo il segmento che unisce £$P$£ ad un qualsiasi punto di £$r$£, sui triangoli che si trovano applichiamo il primo criterio di congruenza e la proprietà della bisettrice del triangolo isoscele.
  • Per dimostrare l’unicità applichiamo il teorema dell’angolo esterno.

Interrogazione su rette incidenti e perpendicolari

Pensi di aver capito tutto sulle rette incidenti e perpendicolari? Allora mettiti alla prova con le domande dell’interrogazione che trovi in questo video! Facili? Allora corri a fare gli esercizi!

Sfida sulle rette incidenti e perpendicolari

Sfida:

Soluzione:

Quante strade puoi progettare che passino per l’autofficina e siano perpendicolari alla Route 101? Continuano le sfide sulle rette incidenti e perpendicolari. L’hai già risolta? Allora passa agli esercizi!