Teorema delle rette parallele: definizione, enunciato

Il teorema delle rette parallele è uno dei principi fondamentali della geometria euclidea, che gioca un ruolo chiave nella comprensione delle relazioni tra linee parallele e trasversali.

"Due rette parallele formano con una trasversale angoli…" hai sempre sentito questo enunciato e vuoi imparare come si dimostra e quali sono le sue applicazioni? Sei nella lezione giusta! Hai imparato cosa sono le rette parallele e come si definiscono, ora puoi imparare il teorema delle rette parallele e alcune sue applicazioni.

Scopri enunciato e dimostrazione del teorema delle rette parallele, l’inverso di questo teorema e i suoi corollari. In questa video lezione imparerai:

• Teorema delle rette parallele: cosa è e quale è la dimostrazione del teorema delle rette parallele
• Inverso del teorema delle rette parallele: quale è la dimostrazione del teorema inverso delle rette parallele
• Parallela per un punto ad una retta: quale è e come si dimostra la condizione per costruire una retta parallela ad una data
• Proprietà degli angoli con i lati paralleli: quali sono le proprietà degli angoli con i lati paralleli e cosa hanno a che fare con il teorema delle rette parallele

• Teorema delle rette parallele
• Inverso del teorema delle rette parallele
• Parallela per un punto ad una retta
• Proprietà degli angoli con lati paralleli
• Interrogazione su teoremi e corollari delle rette parallele
• Sfida sui teoremi delle rette parallele

Teorema delle rette parallele

Teorema delle rette parallele:
"Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora sono parallele."

Dimostriamo il teorema per assurdo, cioè supponiamo che le due rette siano incidenti e poi applichiamo il teorema dell’angolo esterno.

Criteri di parallelismo
Più in generale, possiamo dire che sono parallele due rette che incontrando una terza retta formano:

• angoli alterni (interni o esterni) congruenti, o;
• angoli corrispondenti congruenti, o;
• angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.

Da questo teorema discende il seguente corollario: "due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele".

Inverso del teorema delle rette parallele

Il teorema inverso delle rette parallele: "se due rette sono parallele, allora formano con una qualunque trasversale due angoli alterni interni congruenti."

Dimostriamo il teorema per assurdo: supponiamo che i due angoli considerati siano diversi, applichiamo il teorema delle parallele e otteniamo una contraddizione con il quinto postulato di Euclide.
Più in generale, possiamo dire che se due rette sono parallele, allora formano con una trasversale:

• angoli alterni (interni e esterni) congruenti;
• angoli corrispondenti congruenti;
• angoli coniugati (interni e esterni) supplementari;

Da questo teorema seguono alcuni corollari:

• date due rette parallele, se una retta è perpendicolare a una di esse è perpendicolare anche all’altra;
• date due rette incidenti, le perpendicolari a queste due rette sono anch’esse incidenti;
• due rette che siano parallele a una terza sono tra loro parallele;
• date due rette parallele, se una terza retta incontra una delle due parallele allora incontra anche l’altra;
• due rette £$ a’ $£ e £$ b’ $£, rispettivamente parallele a due rette a e b incidenti, sono anch’esse incidenti. (Si dimostra per assurdo!).

Parallela per un punto ad una retta

È sempre possibile, data una retta £$ r $£ e un punto £$ P $£ esterno ad essa, costruire un’altra retta passante per £$P$£ e parallela ad £$r$£.

Per dimostrare questo teorema disegniamo una retta ed un punto £$P$£ esterno alla retta. Consideriamo poi un’altra retta trasversale, analizziamo gli angoli che si formano e usiamo il teorema delle parallele per concludere la dimostrazione.
L’unicità di questa retta è data dal quinto postulato di Euclide: "Data una retta e un punto fuori di essa, è unica la retta passante per quel punto e parallela alla retta data."

Proprietà degli angoli con lati paralleli

Dati due angoli con i lati a due a due paralleli e una retta che congiunge i due vertici, sono:

• concordi i lati paralleli che giacciono nella stessa parte di piano rispetto alla retta e
• discordi gli altri lati.

Due angoli che hanno i lati paralleli sono:

• congruenti, se entrambi i lati paralleli sono concordi (oppure discordi);
• supplementari, se due lati paralleli sono concordi e gli altri due discordi.

Dividiamo la dimostrazione in 3 casi:

• il caso 1 è quello degli angoli con i lati paralleli concordi, e lo dimostriamo con il teorema delle rette parallele e per la proprietà transitiva della congruenza;
• il caso 2 è quello degli angoli con i lati paralleli discordi, e lo dimostriamo con il teorema delle rette parallele e applicando la proprietà transitiva della congruenza;
• il caso 3 è quello degli angoli con due lati paralleli concordi e due lati paralleli discordi, che si dimostra con il teorema delle rette parallele.

Interrogazione su teoremi e corollari delle rette parallele

Ora che hai studiato i teoremi e i corollari delle rette parallele prova a rispondere alle domande dell’interrogazione! Magari saranno proprio quelle che ti farà la prof domani a scuola!

Sfida sui teoremi delle rette parallele

Sfida:

Soluzione:

Quante strade puoi progettare che passino per l’agriturismo e siano parallele alla Route 101? Aiutati a risolvere la sfida con i teoremi sulle rette parallele che hai appena studiato!

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.