I numeri naturali: addizione e sottrazione
La matematica non può fare a meno dei numeri! I numeri più facili da imparare sono i numeri naturali, cioè tutti quelli senza la virgola, più grandi di [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]. Ma anche lo [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] è un numero naturale…
Ma oltre a contare, cos’altro possiamo fare con i numeri naturali? Beh, già contando facciamo un’operazione. Stiamo aggiungendo £$1$£ a un numero. L’operazione "aggiungere" viene chiamata addizione.
E se invece contassimo all’indietro? Invece di aggiungere, stiamo "togliendo" un numero alla volta. Questa operazione si chiama sottrazione. Sembra facile? Certo che lo è, ma conosci anche le proprietà di queste operazioni?
Guarda i video, segui gli esempi e gli esercizi svolti. Poi allenati con i tre livelli di esercizi per testare la tua conoscenza sull’addizione e la sottrazione di numeri naturali.
- Cosa sono i numeri naturali
- Cos'è l'addizione
- Le proprietà dell'addizione
- Cos'è la sottrazione: la sua proprietà
- Interrogazione su addizione e sottrazione
- Sfida: addizione e sottrazione in £$\mathbb{N}$£
Cosa sono i numeri naturali
I numeri naturali sono i più intuitivi, quelli che impari da bambino. È questo il motivo per cui è difficile darne una definizione rigorosa.
L’insieme dei numeri naturali £$ \mathbb{N} $£ è l’insieme di tutti i numeri maggiori o uguali a zero: £$\mathbb{N}= \{ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; …\}$£ Nell’insieme dei numeri naturali, quindi, ci sono tutti i numeri interi e positivi più lo zero, nessun numero negativo e nessuna frazione.
I numeri naturali, così come i punti della semiretta, sono infiniti, puoi partire da zero e andare avanti a elencarli uno ad uno senza mai fermarti!
Attenzione! Alle volte potrai trovare lo [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] tra i numeri naturali, alle volte invece viene escluso. Ogni volta che parli di numeri naturali, ricordati di specificare se comprendi lo [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] oppure no. Così non ci saranno dubbi!
Cos’è l’addizione
Quanto fa £$2+5$£? E £$374+233$£? Sono tutti calcoli che sai fare ma ti ricordi qual è la definizione di addizione? Hai mai notato che la somma di due numeri naturali è un numero naturale?
La somma di due numeri naturali è il numero ottenuto contando di seguito al primo tutte le unità del secondo. Quindi, per esempio, per calcolare £$5+3$£, parto da £$5$£ e conto altre £$3$£ unità: £$6$£, £$7$£, £$8$£, il risultato è £$8$£!
L’operazione per trovare la somma si chiama addizione ed i numeri da sommare si chiamano addendi.
La somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale, quindi la somma è un’operazione interna nell’insieme dei numeri naturali £$ \mathbb{N}$£.
L’elemento neutro dell’addizione è lo £$: sommando [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] a qualsiasi numero in [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] \mathbb{N}$£ il risultato non cambia.
Le proprietà dell’addizione
Le proprietà dell’addizione sono tre:
- proprietà commutativa: cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia: £$a+b=b+a$£, cioè, per esempio: £$245+76=76+245$£;
- proprietà associativa: la somma di tre o più numeri non cambia se a due o più di questi sostituiamo la loro somma: £$ (a + b) + c = a + (b + c) $£, cioè, per esempio, £$7+3+5=10+5=7+8$£, con £$10=7+3$£ e £$8=3+5$£;
- proprietà dissociativa: la somma di due o più addendi non cambia se a uno di questi sostituiamo più numeri la cui somma sia uguale all’addendo sostituito. Esempio: Risolviamo £$ 32 + 28 $£. Diventa £$ 30 + 2 + 28 $£ rendendo più semplice l’addizione: £$ 2 $£ e £$ 8 $£ sono numeri amici!
Le proprietà dell’addizione servono per fare i calcoli più velocemente. Guarda gli esempi e allenati con gli esercizi!
Cos’è la sottrazione: la sua proprietà
Se a £$7$£ togliamo £$5$£ cosa abbiamo? E se a £$5$£ togliamo £$7$£? Il risultato è uguale?
La differenza di due numeri naturali, se esiste, è il numero che aggiunto al secondo dà come somma il primo. L’ operazione per ottenere la differenza è la sottrazione. Dalla definizione possiamo anche dire che la sottrazione è anche l’operazione inversa dell’addizione! Quindi, £$57-25=32$£ perché se aggiungi £$32$£ a £$25$£ ottieni £$57$£. Puoi anche pensare di avere £$57$£ oggetti e toglierne £$25$£, quanti ne rimangono? £$32$£!
Il primo numero si chiama minuendo, il secondo sottraendo.
Non è sempre detto che la sottrazione di due numeri naturali sia ancora un numero naturale, la sottrazione non è un’operazione interna in £$ \mathbb{N} $£ (cioè il risultato potrebbe dare un numero non naturale).
La sottrazione ha la sola proprietà invariantiva: la differenza di due numeri non cambia, aggiungendo o togliendo uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo.
Interrogazione su addizione e sottrazione
Ti senti pronto per l’interrogazione? Qui trovi alcuni esercizi e domande che il prof ti può chiedere. Prova a rispondere! Se hai dei dubbi, puoi sempre riguardare i video per ripassare e prepararti al meglio!
Sfida: addizione e sottrazione in £$\mathbb{N}$£
Una sfida sui numeri naturali:
Ecco la soluzione:
La sfida dei numeri naturali! Cosa c’entra la matematica con la preparazione della valigia? Quante magliette devi mettere? Prova a risolvere la sfida della lezione. Se hai dubbi, guarda i video spiegati con tanti esempi sulle operazioni e proprietà dell’addizione e sottrazione nei numeri naturali, che ti aiuteranno a trovare la soluzione alla sfida!