La moltiplicazione: come si fa e quali sono le sue proprietà
La moltiplicazione è una delle quattro operazioni matematiche che usiamo per calcolare la somma ripetuta di un numero per un certo numero di volte. Immaginiamo di avere un giardino e di voler piantare righe di alberi: se piantiamo cinque alberi in ogni fila per dieci file, stiamo moltiplicando cinque per dieci. Questi numeri che moltiplichiamo si chiamano fattori, e il risultato dell’operazione è il prodotto.
Quando moltiplichiamo, stiamo essenzialmente sommando un numero a se stesso più volte. Se prendiamo l’esempio precedente degli alberi, stiamo sommando il numero 5 per 10 volte.
Scopri nel nostro ultimo articolo come fare la moltiplicazione e quali sono le sue proprietà fondamentali!
- I termini della moltiplicazione
- La moltiplicazione è un'addizione ripetuta
- L'elemento neutro della moltiplicazione è 1
- L'elemento assorbente della moltiplicazione è 0
- Proprietà commutativa della moltiplicazione
- Proprietà associativa della moltiplicazione
- Proprietà distributiva della moltiplicazione
I termini della moltiplicazione
La moltiplicazione ci serve per fare più velocemente addizioni ripetute, cioè per sommare più volte lo stesso numero in modo rapido.
Il segno aritmetico che indica la moltiplicazione è £$ \times $£ che leggiamo per. Per velocità di scrittura e per evitare di confondersi con la lettera £$ x $£ quando le cose diventano complicate, utiizziamo per scrivere la moltiplicazione il simbolo £$ \cdot $£ che leggiamo sempre nello stesso modo.
I termini della moltiplicazione sono i fattori. Possiamo scrivere, ad esempio, la moltiplicazione £$ 2 \times 7 $£, che equivale a scrivere £$ 2 \cdot 7 $£ dove il £$ 2 $£ e il £$ 7 $£ sono i due fattori.
Il risultato della moltiplicazione è il prodotto.
$$ 2 \times 7 = 2 \cdot 7 = 14 $$il £$ 2 $£ e il £$ 7 $£ sono i fattori, il £$ 14 $£ è il prodotto
La moltiplicazione è un’addizione ripetuta
Abbiamo detto più volte che la moltiplicazione è un’addizione ripetuta. Ma cosa significa?
Quando vogliamo sommare più volte uno stesso numero, possiamo utilizzare una moltiplicazione. Il primo fattore della moltiplicazione è il numero che vogliamo sommare, il secondo indica per quante volte vogliamo sommare quel numero.
$$ 6 + 6 + 6 + 6 + 6 $$Sommiamo il numero £$ 6 $£ per cinque volte. Invece di scrivere questa lunga addizione, possiamo convertirla in una moltiplicazione:
$$ 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 \cdot 5 = 30 $$Con un’operazione più semplice, otteniamo lo stesso risultato in entrambi i casi.
L’elemento neutro della moltiplicazione è 1
Abbiamo visto che l’addizione ha un elemento neutro, cioè un numero che non modifica il risultato anche se addizionato ad una qualsiasi quantità.
L’£$1$£ è l’elemento neutro per la moltiplicazione: se moltiplichiamo un numero qualsiasi per £$ 1 $£ ritroviamo il numero stesso.
Infatti abbiamo detto che il primo fattore della moltiplicazione indica il numero che vogliamo sommare più volte, il secondo fattore invece indica per quante volte lo vogliamo sommare. Se il secondo fattore è uguale a £$ 1 $£ significa che sommmiamo il primo fattore solo una volta: il risultato della moltiplicazione è il numero stesso.
$$ 15 \cdot 1 = 1 \cdot 15 = 15 $$L’elemento assorbente della moltiplicazione è 0
Lo £$ 0 $£ è un elemento assorbente per la moltiplicazione, poiché assorbe qualsiasi risultato.
Abbiamo incontrato lo £$ 0 $£ come elemento neutro dell’addizione. Come si comporta invece con la moltiplicazion?
Qualsiasi numero moltiplicato per £$ 0 $£ dà £$ 0 $£ come risultato. Quindi lo £$ 0 $£ è un elemento assorbente per la moltiplicazione, poiché assorbe qualsiasi risultato.
$$ 78 \cdot 0 = 0 \cdot 78 = 0 $$Proprietà commutativa della moltiplicazione
Anche la moltiplicazione, come l’addizione, ha la proprietà commutativa: se cambiamo l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia.
Esempio: £$ 3 \cdot 4 $£ è uguale a £$ 4 \cdot 3 $£. Il risultato è sempre £$ 12 $£!
Trovi la tabella con tutte le formule qui.
Proprietà associativa della moltiplicazione
Un’altra proprietà della moltiplicazione comune all’addizione è la proprietà associativa: se sostituiamo a due numeri il loro prodotto, il risultato non cambia.
Esempio: Risolviamo il prodotto di tre numeri £$ 3 \cdot 4 \cdot 2 $£.
Moltiplicando prima i primi due numeri troviamo: £$ (3 \cdot 4) \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24 $£.
Se moltiplichiamo invece per primi gli ultimi 2 numeri? £$ 3 \cdot (4 \cdot 2) = 3 \cdot 8 = $£… di nuovo £$ 24 $£!
Trovi la tabella con tutte le formule qui.
Proprietà distributiva della moltiplicazione
La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma ci permette di "distribuire" le operazioni rendendo i calcoli più semplici.
Quando dobbiamo moltiplicare un numero per una somma, invece di svolgere subito la somma e fare quindi una moltiplicazione "più difficile", possiamo fare due moltiplicazioni più facili e sommare solo alla fine.
Esempio: £$ 6 \cdot (7 + 9) $£.
Risolviamo svolgendo i calcoli nella parentesi e troviamo £$ 6 \cdot 16 = 96 $£. Ma è una moltiplicazione più difficile!
Proviamo invece a distribuire il prodotto sulla somma: £$ 6 \cdot (7 + 9) = 6 \cdot 7 + 6 \cdot 9 $£. Dobbiamo fare due moltiplicazioni, ma sono immediate (conosciamo il risultato dalle tabelline): £$ 42 + 54 = 96 $£.
Il risultato non cambia, cambia come ci siamo arrivati!