L'unione e l'intersezione tra gli insiemi matematici
La teoria degli insiemi, una componente fondamentale della matematica moderna, si occupa dello studio di collezioni ben definite di oggetti, che possono essere numeri, persone, punti, o qualsiasi altro concetto. In particolare, due delle operazioni più elementari e cruciali in questa teoria sono l’unione e l’intersezione tra insiemi. Queste operazioni permettono di combinare o confrontare insiemi per formarne di nuovi, e sono applicate in una vasta gamma di campi matematici, dalla logica alla probabilità, dall’analisi alla geometria.
L’unione di due insiemi combina tutti gli elementi distinti presenti in entrambi gli insiemi. Matematicamente, l’unione degli insiemi A e B, denotata come A ∪ B, è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A, a B, o ad entrambi. Non importa quanto diversi siano gli insiemi in questione, la loro unione sarà sempre un insieme che contiene ogni elemento che si trova in almeno uno dei due insiemi originali.
D’altra parte, l’intersezione di due insiemi identifica gli elementi comuni ad entrambi. Indicata come A ∩ B, l’intersezione degli insiemi A e B è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B. L’intersezione ci permette di filtrare gli elementi condivisi tra insiemi diversi, trovando così le somiglianze o i collegamenti tra diversi gruppi di oggetti.
Scopriamo insieme le caratteristiche di queste operazioni e come si possono svolgere!
Come si fanno le operazioni tra gli insiemi
Abbiamo ripassato tutte le operazioni con i numeri e con le frazioni. Ora possiamo chiederci: si possono fare le operazioni con gli insiemi? Sono uguali alle operazioni tra numeri?
È possibile svolgere le operazioni con gli insiemi! Gli insiemi non sono oggetti fissi, ma puoi aggiungere o togliere elementi, far "interagire" due o più insiemi… Le operazioni con gli insiemi non sono più addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, ma si chiamano unione e intersezione.
L’unione tra insiemi
L’unione di due (o più) insiemi è l’insieme che contiene tutti gli elementi che appartengono ai due insiemi. L’unione dei due insiemi £$ A $£ e £$ B $£ si indica £$ A \cup B $£ e contiene quindi gli elementi che appartengono all’insieme £$ A $£ oppure all’insieme £$ B $£, cioè appartengono almeno ad uno dei due insiemi: £$ A \cup B = \{x | x \in A \text{ oppure } x \in B \} $£.
Esempio: £$ A = \{x | x $£ è un crostaceo£$ \} $£ e £$ B = \{x | x $£ è un mollusco£$\}$£. L’insieme £$ A \cup B = \{x | x $£ è un crostaceo o è un mollusco£$\}$£.
Esempio: se £$C= \{ $£a, b, c, d, e, f, g£$ \} $£ e £$D=\{ $£e, f, g, h, i, l£$ \} $£ allora £$C \cup D= \{ $£a, b, c, d, e, f, g, h, i, l£$ \}$£
Attenzione! Se £$ A \subset B $£, allora £$ A \cup B = B $£.
L’ntersezione tra due insiemi
L’intersezione di due insiemi è l’insieme degli elementi che appartengono sia ad un insieme che all’altro. L’intersezione dei due insiemi £$ A $£ e £$ B $£ si indica £$ A \cap B $£ e contiene gli elementi comuni all’insieme £$ A $£ e all’insieme £$ B $£, cioè che appartengono ad entrambi gli insiemi: £$ A \cap B = \{x | x \in A \text{ e } x \in B\} $£ £$= \{x | x \in A, x \in B\} $£
Esempio: £$ A = \{x | x $£ è una città del Piemonte £$\}$£ e £$ B = \{x | x $£ è un capoluogo di regione£$ \} $£. L’insieme £$ A \cap B = $£ {Torino} contiene Torino perché è il capoluogo del Piemonte e quindi una città del Piemonte.
Attenzione! Se £$ A \subset B $£, allora £$ A \cap B = A $£.
Due insiemi sono disgiunti se la loro intersezione è uguale all’insieme vuoto.
Esempio: £$ A = \{x | x $£ è una città del Piemonte £$\}$£ e £$ C = \{x | x $£ è una città della Lombardia£$ \} $£. L’insieme intersezione è vuoto perché una città non può essere contemporaneamente in Piemonte e in Lombardia: £$ A \cap C = \varnothing $£. £$ A $£ e £$ C $£ sono disgiunti.