Addizioni e sottrazioni con le frazioni: come si fanno
Le operazioni con le frazioni ti sembrano un’impresa impossibile? Risolvere addizioni e sottrazioni tra frazioni è più facile di quanto tu possa pensare! Devi soltanto imparare come ridurle allo stesso denominatore per poterle risolvere con grande facilità. Potrebbe capitarti di incontrare delle frazioni con denominatore diverso, ma in questo articolo ti insegneremo come fare per ridurle comunque allo stesso denominatore e svolgere le operazioni in modo rapido e semplice.
Anche le frazioni infatti sono numeri, un po’ particolari, ma pur sempre numeri! Le frazioni sono divisioni che indicano le parti di un intero e sono un modo diverso per scrivere i numeri. Per esempio £$2=\frac{8}{4}=\frac{6}{3}$£, oppure £$1,5=\frac{3}{2}$£. Ora che lo sai, puoi imparare a fare tutte le operazioni che sai già svolgere con i numeri anche con le frazioni!
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- Addizione e sottrazione tra frazioni con lo stesso denominatore
- Addizioni tra frazioni complementari
- Addizione e sottrazione tra frazioni con denominatori diversi
- Somma di frazioni con denominatore diverso
- Differenza di frazioni con denominatori diversi
- Proprietà delle addizioni e sottrazioni con le frazioni
Addizione e sottrazione tra frazioni con lo stesso denominatore
Per la somma tra due frazioni con lo stesso denominatore non dobbiamo imparare niente di nuovo. Se il denominatore delle due frazioni è uguale, basta sommare i due numeratori , il denominatore del risultato è sempre lo stesso.
Esempio: £$ \frac{8}{5} + \frac{3}{5} $£ hanno lo stesso denominatore £$ 5 $£, quindi la frazione somma è £$ \frac{8 + 3}{5} = \frac{11}{5} $£
La differenza tra due frazioni con lo stesso denominatore, funziona esattamente come l’addizione: il denominatore resta uguale e il numeratore è uguale alla differenza tra i due numeratori.
Esempio: £$ \frac{8}{5} – \frac{2}{5} $£ hanno lo stesso denominatore £$ 5 $£, quindi la frazione differenza è £$ \frac{8 – 2}{5} = \frac{6}{5} $£
Addizioni tra frazioni complementari
Due frazioni sono complementari se sommate danno come risultato l’intero, cioè la somma è una frazione che ridotta ai minimi termini è uguale a £$1$£. Esempi:
- £$\frac{2}{7}$£ e £$\frac{5}{7}$£ sono frazioni complementari, infatti £$\frac{2}{7}+\frac{5}{7}=\frac{7}{7}=1$£
- £$\frac{5}{4}$£ e £$\frac{3}{4}$£ NON sono frazioni complementari perché £$\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=\frac{8}{4}=2$£, sono £$2$£ interi, non £$1$£!
- £$\frac{1}{2}$£ è il complementare di se stesso! Infatti £$\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$£
Addizione e sottrazione tra frazioni con denominatori diversi
Per sommare o sottrarre frazioni con denominatore diverso , dobbiamo ridurre le due frazioni al denominatore comune: calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori e scriviamo le frazioni equivalenti. In questo modo troviamo due frazioni con lo stesso denominatore e possiamo sommare o sottrarre solo i numeratori!
La somma (o la differenza) di frazioni con denominatore diverso è uguale a una frazione che ha per denominatore il m.c.m. tra i due denominatori e per numeratore la somma (o la differenza) dei numeratori delle frazioni equivalenti.
Esempio: £$ \frac{3}{2} + \frac{9}{5} $£ visto che £$ \text{m.c.m.}(2, 5) = 10 $£, le due frazioni equivalenti con denominatore uguale a £$ 10 $£ sono £$ \frac{3 \cdot (10 : 2)}{10} $£ e £$ \frac{9 \cdot (10 : 5)}{10} $£.
Allora dobbiamo calcolare la somma £$ \frac{15}{10} + \frac{18}{10} $£, quindi il risultato è £$ \frac{15 + 18}{10} = \frac{33}{10} $£
Somma di frazioni con denominatore diverso
Per sommare frazioni con denominatore diverso, dobbiamo trovare il denominatore comune: calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori e scriviamo le frazioni equivalenti. In questo modo troviamo due frazioni con lo stesso denominatore e possiamo sommare i numeratori!
La somma di frazioni con denominatore diverso è uguale a una frazione che ha per denominatore il m.c.m. tra i due denominatori e per numeratore la somma dei numeratori delle frazioni equivalenti.
Esempio: £$ \dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{5} $£ visto che £$ \text{m.c.m.}(2, 5) = 10 $£, le due frazioni equivalenti con denominatore uguale a £$ 10 $£ sono £$ \dfrac{3 \cdot (10 : 2)}{10} $£ e £$ \dfrac{9 \cdot (10 : 5)}{10} $£.
Allora dobbiamo calcolare la somma £$ \dfrac{15}{10} + \dfrac{18}{10} = \dfrac{15 + 18}{10} = \dfrac{33}{10} $£
Differenza di frazioni con denominatori diversi
Per sottrarre frazioni con denominatore diverso, dobbiamo trovare il denominatore comune, come abbiamo appena visto per calcolare la somma: calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori e scriviamo le frazioni equivalenti.
Aggiungiamo un trucco per poter saltare un passaggio: una volta trovato il minimo comune multiplo tra i due denominatori, possiamo tracciare una lunga linea di frazione inserendo il numero che abbiamo trovato come denominatore. Per trovare i numeratori, procediamo così:
- dividiamo il minimo comune multiplo trovato per il denominatore della frazione iniziale;
- moltiplichiamo il risultato di questa divisione per il numeratore della frazione iniziale;
- scriviamo il risultato al numeratore;
- procediamo nello stesso modo con la seconda frazione;
- calcoliamo la differenza tra i due risultati ottenuti.
La differenza di frazioni con denominatore diverso è uguale a una frazione che ha per denominatore il m.c.m. tra i due denominatori e per numeratore la differenza dei numeratori delle frazioni equivalenti.
Esempio: £$ \dfrac{4}{9} – \dfrac{4}{15} $£ visto che £$ \text{m.c.m. }(9, 15) = 45 $£, la frazione differenza avrà denominatore uguale a £$ 15 $£. Calcoliamo i due numeri di cui calcolare la differenza:
- dividiamo per il denominatore £$ 45 : 9 = 5 $£ quindi moltiplichiamo per il numeratore £$ 5 \cdot 4 = 20 $£;
- facciamo lo stesso anche con la seconda frazione: £$ 45 : 15 = 3 $£ e moltiplichiamo £$ 3 \cdot 4 = 12 $£
£$ \dfrac{4}{9} – \dfrac{4}{15} = \dfrac{20 – 12}{45} = \dfrac{8}{45} $£ abbiamo trovato il risultato!
NB: Questo trucco funziona anche nella somma tra frazioni!
Proprietà delle addizioni e sottrazioni con le frazioni
Per l’addizione e la sottrazione tra frazioni valgono le proprietà dell’addizione e della sottrazione tra numeri naturali. Ripassiamo allora le proprietà di queste due operazioni e facciamo degli esempi. L’addizione tra frazioni ha la proprietà commutativa e la proprietà associativa .
La proprietà commutativa: cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia.
Esempio: £$\frac{1}{2}+ \frac{7}{5}=\frac{7}{5}+\frac{1}{2}= \frac{19}{10}$£
Questa proprietà vale ancora perché per sommare due frazioni, prima facciamo il m.c.m tra i denominatori (e questo è sempre lo stesso, indipendentemente dall’ordine dei denominatori) poi sommiamo i numeratori, che sono numeri interi, per cui sappiamo già che vale la proprietà commutativa!
La proprietà associativa: sostituendo a due numeri la loro somma, il risultato non cambia.
Esempio: £$\frac{13}{12}+\frac{17}{12}+\frac{4}{3}=\left(\frac{13}{12}+\frac{17}{12} \right)+\frac{4}{3}$£
La proprietà associativa, anche nelle frazioni è molto utile quando viene applicata insieme alla commutativa. Infatti data l’espressione £$\frac{13}{12}+\frac{4}{3}+\frac{17}{12}+\frac{2}{3}$£ conviene risolvere prima le addizioni con denominatore uguale. Puoi metterle vicine per la proprietà commutativa e sommarle a due a due con l’associativa: £$\frac{13}{12}+\frac{4}{3}+\frac{17}{12}+\frac{2}{3}=\frac{13}{12}+\frac{17}{12}+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=\frac{13+17}{12}+\frac{4+2}{3}$£! Non è necessario ogni volta scrivere tutti i passaggi! L’importante è essere sicuri di poter fare questi calcoli grazie alle proprietà che ce li permettono!
La sottrazione tra frazioni gode solo della proprietà invariantiva, proprio come nei numeri naturali. La proprietà invariantiva dice che aggiungendo o togliendo la stessa quantità ad entrambi i termini della sottrazione, il risultato non cambia.
Esempio: £$ \frac{5}{6} – \frac{1}{3} $£ £$ = \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{6} \right) – \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \right) $£ £$= \frac{6}{6} – \frac{3}{6} $£ £$ = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $£
Questa proprietà può essere molto utile nel calcolo a mente e per verificare velocemente i tuoi calcoli!