L'insieme dei numeri razionali: cos'è
Che cos’è esattamente l’insieme dei numeri razionali e come si colloca nel vasto universo dei numeri? Avrai già incontrato diversi tipi di numeri: i numeri naturali, gli interi, e ora, ci addentreremo nel territorio dei numeri razionali.
Ma cosa rende un numero “razionale"? E come possiamo rappresentare e utilizzare questi numeri nel contesto matematico? In questo articolo, esploreremo queste domande e molte altre. Cercheremo di comprendere cosa significa per un numero essere razionale, come identificare un numero razionale e come questi numeri vengono utilizzati in una varietà di contesti matematici.
L’insieme Q dei numeri razionali
L’insieme £$ \mathbb{Q} $£ raccoglie tutti i numeri razionali.
Cosa sono i numeri razionali? Sono tutti quei numeri che possiamo esprimere come rapporto tra numeri interi.
Possiamo definire in questo modo l’insieme £$ \mathbb{Q} $£:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{n}{d} \ | \ n \in \mathbb{N} \text{ e } d \in \mathbb{N}_0 \right\} $$
Esprimiamo i numeri razionali come frazioni: il numero £$ n $£ che sta sopra è il numeratore, il numero £$ d $£ che sta sotto è il denominatore, la linea nel mezzo si chiama linea di frazione.
La linea di frazione è solo un modo diverso per scrivere una divisione. Infatti il rapporto tra due numeri è la divisione tra questi due numeri.
La rappresentazione dell’insieme dei numeri razionali Q
L’insieme dei numeri razionali si porta con sé molte proprietà dell’insieme dei numeri naturali. Si tratta sempre di un insieme infinito e ordinato, che possiamo rappresentare su una semiretta.
I numeri razionali sono rapporti tra numeri naturali e, poiché i numeri naturali sono infiniti, anche i numeri razionali sono infiniti: è un insieme infinito. Possiamo sistemare le frazioni sulla semiretta in modo ordinato, dal più piccolo al più grande: si tratta di un insieme ordinato.
Ora parliamo solo dei numeri razionali positivi, ma studiando i numeri relativi vedrai che esistono anche i numeri negativi, cioè contrassegnati da un segno meno davanti.
La ricetta della pizza con le frazioni
Una frazione è un modo per esprimere una quantità dividendo un intero in un certo numero di parti uguali. Scriviamo una frazione in questo modo: £$ \frac{2}{5} $£, la linea fra i due numeri viene chiamata riga, o linea di frazione.
Il numero che si trova sotto alla riga di frazione si chiama denominatore e indica in quante parti uguali è stato suddiviso l’intero. Infatti il termine denominatore deriva da denominare, quindi dare un nome alle parti in cui abbiamo diviso l’intero (terzi, quarti, quinti…). Il numero che si trova sopra, invece, si chiama numeratore (che deriva da enumerare, cioè contare) e indica quante di queste parti consideriamo nella nostra frazione.
Le frazioni non sono altro che divisioni indicate con la linea di frazione anziché con il £$:$£. Per esempio, £$4:2=\frac{4}{2}=2$£; £$1:2=\frac{1}{2}=0,5$£; £$5:5=\frac{5}{5}=1$£. Le frazioni sono molto comode quando hai una divisione che ha come risultato un numero con la virgola!
Frazioni con lo 0 al numeratore o al denominatore
Il numeratore di una frazione può essere nullo? Esiste una frazione con denominatore uguale a [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]?
Nelle frazioni può comparire anche lo 0, ma bisogna fare molta attenzione!
Le frazioni con lo 0 al numeratore sono sempre uguali a 0. Scrivere £$ \frac{0}{8} $£ è come scrivere £$ 0 $£: prendo £$ 0 $£ parti di un intero.
Qual è una delle prime regole che hai imparato studiando le divisioni? Non si può dividere per 0! Quindi non esistono frazioni con lo 0 al denominatore: £$ \frac{4}{0} $£ è impossibile!