Come passare dal numero periodico semplice e misto alla frazione

I numeri periodici sono una parte integrante dell’aritmetica e, anche se potrebbero sembrare complicati all’inizio, sono molto meno misteriosi di quanto si possa pensare. In questo articolo, ci concentreremo sulla trasformazione dei numeri periodici, sia semplici che misti, in frazioni!

Un numero periodico semplice è un numero decimale che ha una serie di cifre che si ripetono all’infinito. Ad esempio, 0,333… dove il 3 si ripete senza fine. Un numero periodico misto, d’altra parte, ha una parte non ripetitiva seguita da una serie di cifre che si ripetono, come nel caso di 0,12333…, dove il 3 si ripete all’infinito dopo la sequenza 12.

Ma perché dovremmo preoccuparci di trasformare questi numeri in frazioni? La risposta è semplice: le frazioni offrono una rappresentazione più chiara di questi numeri. Possono facilitare la comprensione e l’utilizzo in vari contesti, come i calcoli o le comparazioni. Trasformare un numero periodico in una frazione può semplificare il processo di lavoro con quel numero, rendendo più agevoli operazioni come la somma, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione.

Cerchiamo adesso di capire meglio come può avvenire questa trasformazione!

• Il passaggio dal numero periodico semplice alla frazione
• Il passaggio dal numero periodico misto alla frazione

Il passaggio dal numero periodico semplice alla frazione

Passando dalla frazione al numero decimale abbiamo visto che possiamo ottenere dei numeri "semplici", per esempio £$\frac{1}{2}=0,5$£, oppure un po’ più complessi da calcolare, per esempio £$\frac{1}{3}=0,33333…$£

Quelli più semplici da calcolare sono quelli che hanno un numero finito di cifre dopo la virgola, gli altri sono quelli che hanno tanti numeri dopo la virgola, che possono essere tutti uguali £$ \left( \frac{1}{3}=0,3333… \right) $£ oppure uguali a gruppi £$ \left( \frac{1}{55}=0,0181818181… \right) $£.
Come si chiamano questi numeri?

I numeri decimali periodici sono numeri con le cifre dopo la virgola che si ripetono senza mai fermarsi. Quindi il numero £$ 0,3333… $£ è un numero periodico: il periodo è il numero che si ripete dopo la virgola, in questo caso è il £$ 3 $£. Di solito scriviamo questi numeri così: £$ 0,3333… = 0,\overline{3} $£, con un trattino sopra alla cifra che costituisce il periodo.
Numeri di questo tipo sono più comodi se scritti sotto forma di frazione.

Come trasformare un numero decimale periodico in frazione?

La frazione che corrisponde al numero decimale periodico si chiama generatrice: per trovarla mettiamo al numeratore tutto il numero senza la virgola e al denominatore tanti £$ 9 $£ quante sono le cifre che formano il periodo. Il numero £$ 0,\overline{3} $£ corrisponde alla frazione £$ \frac{3}{9} $£ perché il periodo è formato da una sola cifra!
Se semplifichiamo questa frazione otteniamo £$\frac{1}{3}=0,\overline{3}$£

Esempio: £$ 0,45454545… = 0,\overline{45} $£ in questo caso ci sono due cifre che si ripetono dopo la virgola, il £$ 4 $£ e il £$ 5 $£. Questo numero corrisponde alla frazione £$ \dfrac{45}{99} $£

Il passaggio dal numero periodico misto alla frazione

Se le cifre dopo la virgola non fanno tutte parte del periodo, siamo di fronte ad un numero decimale periodico misto, come nel caso del numero £$ 2,35\overline{7} $£.

In particolare il numero £$ 7 $£ costituisce il periodo, il numero £$ 35 $£ è l’antiperiodo.

Per trovare la frazione generatrice di un numero periodico misto scriviamo:

• al numeratore la differenza tra tutto il numero senza la virgola e le cifre che precedono il periodo;
• al denominatore tanti £$ 9 $£ quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti £$ 0 $£ quante sono le cifre dell’antiperiodo.

Esempi: £$ 2,35\overline{7} = \dfrac{2357 – 235}{900} = \dfrac{2122}{900} $£

£$0,00\overline{6}= \dfrac{6-0}{900}$£