Le potenze delle frazioni: come si calcolano
Potenze di frazioni: come si calcolano? L’elevamento a potenza di una frazione è una potenza che ha per base una frazione e per esponente un numero naturale e segue le stesse regole e proprietà delle potenze dei numeri naturali. Impara a risolvere le espressioni con frazioni e potenze e non dimenticarti le parentesi: altrimenti starai elevando a potenza soltanto il numeratore della frazione.
Anche se la base è una frazione si tratta sempre di una moltiplicazione ripetuta: devi perciò moltiplicare la frazione per se stessa tante volte quante ne indica l’esponente. Basta elevare a quella potenza sia il numeratore che il denominatore. Si tratta di qualcosa di molto semplice e, man mano che leggerai questo articolo, te ne accorgerai.
Per le potenze di frazioni sono molto importanti le parentesi! Scrivere £$\left( \frac{3}{5} \right)^2 $£ è diverso che scrivere £$ \frac{3}{5}^2$£ perché in £$ \frac{3}{5}^2 = \frac{3^2}{5}$£ si eleva a potenza soltanto il numeratore.
Pronti? Cominciamo!
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- Potenza di una frazione
- Proprietà delle potenze con la stessa base nelle frazioni
- Proprietà delle potenze con lo stesso esponente nelle frazioni
- Potenza di una frazione con esponente negativo
- Interrogazione su come si eleva a una potenza una frazione
- La sfida: eleviamo le potenze delle frazioni
Le potenze, le frazioni e le potenze di frazione
Prima di addentrarci nel calcolo delle potenze di frazione, è necessario comprendere le fondamenta su cui si basano. Iniziamo quindi con il definire cosa sono le frazioni, le potenze e, infine, le potenze di frazione.
Una frazione è un modo di rappresentare una quantità divisa in parti uguali. È composta da un numeratore, che indica quante di queste parti abbiamo, e un denominatore, che indica in quante parti è diviso il tutto. La potenza, invece, è un concetto matematico usato per esprimere la moltiplicazione ripetuta di un numero per se stesso. È composta da una base e un esponente.
Una potenza di frazione è, semplicemente, l’elevamento a potenza di una frazione.
Potenza di una frazione
La potenza di una frazione è il prodotto di tante frazioni uguali quante ne indica l’esponente. Per esempio £$ \left( \frac{5}{4}\right)^2=\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} $£. Per calcolare il prodotto di frazioni, semplifichiamo in corce e moltiplichiamo in riga, quindi: £$ \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 4}= \frac{5^2}{4^2} $£
Per calcolare la potenza di una frazione basta quindi calcolare la potenza del numeratore fratto la potenza del denominatore.
Esempio: £$ \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} $£
Attenzione! È molto importante mettere le parentesi per fare la potenza di una frazione. La parentesi indica che vuoi elevare tutta la frazione e non solo uno fra numeratore e denominatore. Per esempio: £$\left( \frac{7}{5} \right)^2 $£ è diverso da £$ \frac{7}{5}^2$£, infatti £$\left( \frac{7}{5} \right)^2= \frac{49}{25} $£, mentre £$ \frac{7}{5} ^2= \frac{7^2}{5} = \frac{49}{5} $£
Proprietà delle potenze con la stessa base nelle frazioni
Le proprietà delle potenze valgono anche per le potenze di frazioni. Ripassiamo le proprietà delle potenze con la stessa base.
Nelle potenze di frazioni, prodotto di due potenze con la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa frazione, ma come esponente la somma degli esponenti.
Esempio: £$ \left( \frac{2}{3} \right)^5 \cdot \frac{2}{3} = \left( \frac{2}{3} \right)^{5 + 1} = \left(\frac{2}{3} \right)^6 $£
Il quoziente di due potenze di frazioni con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa frazione, ma per esponente la differenza tra i due esponenti.
Esempio: £$ \left( \frac{2}{3} \right)^5 : \frac{2}{3} = \left( \frac{2}{3} \right)^{5 – 1} = \left(\frac{2}{3} \right)^4 $£
Attenzione! Ricordati sempre di scrivere le parentesi, altrimenti devi elevare solo il numeratore della frazione!
Proprietà delle potenze con lo stesso esponente nelle frazioni
Per il prodotto ed il quoziente tra frazioni che sono elevate allo stesso esponente valgono ancora le proprietà delle potenze con lo stesso esponente.
Per calcolare la moltiplicazione tra due frazioni con lo stesso esponente, non dimenticare le proprietà delle potenze: il risultato del prodotto è una frazione che ha per base il prodotto tra le due basi e per esponente lo stesso esponente.
Esempio: £$ \left( \frac{3}{5} \right)^2 \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \left(\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{3} \right)^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 $£
Per calcolare la divisione tra due frazioni con lo stesso esponente applichiamo di nuovo la stessa proprietà: il quoziente sarà una potenza che ha per base il quoziente tra le due basi e per esponente lo stesso esponente.
Esempio: £$ \left( \frac{3}{5} \right)^2 : \left( \frac{4}{3} \right)^2 = $£ £$ \left(\frac{3}{5} : \frac{4}{3} \right)^2 =$£ £$ \left(\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} \right)^2 $£ £$= \left(\frac{9}{20}\right)^2 $£
Potenza di una frazione con esponente negativo
Cosa succede se l’esponente è negativo? Il meno all’esponente mi dice che devo prima fare il reciproco della frazione di partenza e poi elevare il reciproco alla potenza (che ora sarà positiva). Quindi ad esempio:
£$\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}=\left(\frac{3}{2}\right)^{4}=\frac{3^{4}}{2^{4}}$£Interrogazione su come si eleva a una potenza una frazione
Cosa ti possono chiedere all’interrogazione? Cose che già sai (o che dovresti sapere). Ti ricordi come si eleva a una potenza una frazione? E se la potenza è un numero negativo? Prova a rispondere alle domande che trovi nel video. Se ne vuoi altre, allenati con gli esercizi!
La sfida: eleviamo le potenze delle frazioni
Sfida:
Soluzione alla sfida:
Quale occasione migliore di una festa per ripassare la matematica? Nessuna, ovvio! Questa volta fai un gioco dove devi versare metà del contenuto di un bicchiere in un altro, e poi un altro, e via così. Quanto ne rimane? Scopri come risolvere la sfida, allenandoti con i video e gli esercizi della lezione elevamento a potenza nell’insieme £$\mathbb{Q}$£ dei numeri razionali!