Medie e mediane: il formulario completo di statistica
In questo articolo ci immergeremo nel cuore dell’analisi statistica esplorando alcune delle misure descrittive più utilizzate: gli indici di posizione centrale (media, moda e mediana) e gli indici di variabilità (varianza, deviazione standard).
Questi strumenti sono essenziali per riassumere, descrivere e comprendere insiemi di dati, permettendoci di estrarre informazioni significative da numeri che altrimenti potrebbero sembrare casuali o eccessivamente complessi.
In questa lezione trovi il ripasso delle principali formule di statistica per le scuole superiori.
Formula della media aritmetica
La media aritmetica è uno dei concetti più fondamentali e ampiamente utilizzati nella statistica e nella matematica quotidiana. Comunemente conosciuta come il "valore medio" di un insieme di numeri, si ottiene sommando tutti i valori dell’insieme e dividendo il totale per il numero di valori.
Questa semplice ma potente misura offre una panoramica generale di un insieme di dati, permettendoci di catturare l’essenza di un gruppo di numeri con un singolo valore.
La media aritmetica di un insieme di £$n$£ dati/osservazioni, che indichiamo con £$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$£ è uguale a
$$M=\frac{x_{1}+ x_{2}+ \ldots + x_{n}}{n}$$Formula di moda e mediana
Concetti un po’ meno intuitivi ma altrettanto importanti sono la moda e la mediana, che rappresentano rispettivamente il valore più frequente in un insieme di dati e il valore centrale che divide l’insieme in due parti uguali.
La moda di un insieme di dati/osservazioni è l’elemento che ha frequenza maggiore, viene cioè osservato più volte.
La mediana è il valore che compare "in mezzo" a un insieme ordinato di dati. Se abbiamo l’insieme £$x_{1}\le x_{2}\le \ldots\le x_{n}$£:
- se £$n$£ è dispari, la mediana è il valore che compare in mezzo (equidistante da £$x_{1}$£ e £$x_{n}$£)
Esempio: la mediana dei valori £$1,2,3,4,5,6,7$£ è £$4$£ perché "in mezzo" alla sequenza di elementi.
- se £$n$£ è pari, la mediana è la media aritmetica dei valori alla posizione £$\frac{n}{2}$£ e £$\frac{n}{2}+1$£
Esempio: la mediana dei valori £$1,2,3,4,5,6,7,8$£ è la media tra £$4$£ e £$5$£. La mediana è allora uguale a £$\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}=4,5$£
Formule di varianza e deviazione standard
La varianza e la deviazione standard ci aiutano a comprendere quanto i dati si disperdono intorno alla media.
Nello specifico, la varianza £$\sigma^{2}$£ è la media aritmetica dei quadrati della differenza tra ogni singolo valore £$X_{i}$£ della sequenza e la media aritmetica £$M$£ della sequenza. La formula è:
$$ \sigma^{2}=\frac{(X_1- M)^2+…+(X_n-M)^2}{n} $$La varianza ci offre quindi una visione della variabilità dei dati.
La deviazione standard £$\sigma$£ è uguale alla radice quadrata della varianza, quindi la formula per calcolare la deviazione standard è:
$$ \sigma=\sqrt{\frac{(X_1- M)^2+…+(X_n-M)^2}{n}} $$La deviazione standard, invece, ci fornisce una misura più intuitiva di questa dispersione dei dati intorno alla media, in unità originali dei dati.