Le posizioni reciproche tra retta e iperbole

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Lo studio delle posizioni reciproche tra una retta ed un’iperbole è molto simile a quello affrontato per le altre coniche. Risolvendo il sistema formato dalle due equazioni si capisce se iperbole e retta sono secanti, tangenti o esterne.

Per trovare l‘equazione della retta tangente ad un’iperbole dato un punto, il procedimento cambia a seconda che il punto sia esterno, interno o appartenente all’iperbole. In generale basta mettere a sistema l’equazione dell’iperbole con quella della generica retta passante per il punto e poi analizzare il sistema risolvente.

Se il punto appartiene all’iperbole ed è anche un punto di tangenza, allora la formula di sdoppiamento permette di trovare l’equazione della retta tangente. Imparare a trovare ed analizzare le posizioni reciproche fra retta e iperbole, così come fra retta e retta, retta ed ellisse, o parabola e circonferenza, sarà di grande aiuto per risolvere i problemi con le coniche.

Scopriamo insieme le possibili posizioni reciproche tra retta e iperbole, le rette tangenti a una iperbole e la formula di sdoppiamento.

Posizione reciproca di una retta e un'iperbole
Rette tangenti a un'iperbole
Formula di sdoppiamento dell'iperbole
Esercizi: rette tangenti a un'iperbole
Sfida su retta e iperbole

Posizione reciproca di una retta e un’iperbole

Consideriamo nel piano cartesiano una retta ed un’iperbole, mettendo a sistema le loro equazioni ottieni un’equazione risolvente. A seconda del delta dell’equazione risolvente riesci a determinare la posizione reciproca fra retta e iperbole.
Infatti, se l’equazione è di secondo grado, puoi avere:

£$\Delta > 0$£: il sistema ha due soluzioni reali e distinte e quindi retta e iperbole sono secanti, cioè hanno due punti di intersezione;
£$\Delta=0$£: il sistema ha due soluzioni reali coincidenti, quindi c’è un solo punto di intersezione fra retta e iperbole, cioè le due curve sono tangenti;
[iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]\Delta sistema non ha soluzioni reali, quindi retta e iperbole sono esterne, cioè non hanno punti di intersezione.

Se l’equazione risolvente è di primo grado invece, allora la retta è parallela ad un asintoto dell’iperbole e le due curve hanno un solo punto di intersezione.

Rette tangenti a un’iperbole

Abbiamo l’equazione di una iperbole, conosciamo le coordinate di un punto £$P(x_0;y_0)$£ e vogliamo trovare, se esistono, le rette tangenti all’iperbole che passano per il punto dato; come facciamo?
Il procedimento da seguire per trovare le rette tangenti ad una curva dato un punto esterno alla curva è:

Scriviamo l’equazione del fascio di rette passanti per £$P$£: £$y-y_0=m(x-x_0)$£
Mettiamo a sistema il fascio con l’equazione dell’iperbole
Troviamo l’equazione risolvente (in funzione di £$m$£!)
Imponiamo la condizione di tangenza £$ \Delta=0$£
Risolviamo l’equazione di secondo grado con incognita £$m$£, possiamo trovare:
- 2 soluzioni reali e distinte: ci sono due rette tangenti passanti per £$P$£ che, in questo caso, è esterno all’iperbole;
- 2 soluzioni reali coincidenti: c’è una sola retta tangente per £$P$£, che appartiene all’iperbole;
- nessuna soluzione: non ci sono rette tangenti passanti per £$P$£, che è esterno all’iperbole.

Formula di sdoppiamento dell’iperbole

Consideriamo un’iperbole ed un suo punto £$P$£. Con la formula di sdoppiamento troviamo l’equazione della retta tangente all’iperbole nel suo punto £$P$£ di cui conosciamo le coordinate.

Se l’equazione dell’iperbole è £$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm 1$£ e il punto ha coordinate £$P(x_0;y_0)$£, allora la retta tangente all’iperbole e passante per £$P$£ ha equazione £$\frac{x \cdot x_0}{a^2}-\frac{y \cdot y_0}{b^2}=\pm 1$£