L'iperbole traslata: l'equazione della trasformazione
L’iperbole è una delle coniche, una serie di figure ottenute dall’intersezione di un piano con un cono a doppia punta. Si caratterizza per essere costituita da due rami distinti, che si estendono all’infinito, avvicinandosi sempre più ad asintoti che non incontrano mai. Nella sua forma più semplice, l’iperbole è centrata sull’origine del sistema di coordinate. Tuttavia, quando si trasla questa figura, cioè quando si sposta il suo centro da questa posizione originaria, si ottiene un’iperbole traslata.
La comprensione dell’equazione dell’iperbole traslata è cruciale per descrivere la sua forma e posizione nello spazio. A differenza dell’iperbole standard, la cui equazione ha un centro nell’origine, l’iperbole traslata ha un centro in un punto qualsiasi del piano cartesiano. Questo spostamento aggiunge un livello di complessità all’equazione, richiedendo una comprensione solida di concetti come traslazioni e coordinate.
Scopriamola insieme!
L’iperbole traslata: definizione ed equazione
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Traslando un’iperbole di un vettore £$ \overrightarrow{v} (p;q)$£ otteniamo una nuova iperbole, che ha le stesse caratteristiche di quella di partenza perché la traslazione è un’isometria, quindi conserva le caratteristiche principali e le distanze.
I fuochi, i vertici e gli asintoti della nuova iperbole sono i corrispondenti di quelli iniziali nella traslazione di vettore £$ \overrightarrow{v} (p;q)$£.
L’equazione di un’iperbole traslata di un vettore £$ \overrightarrow{v} (p;q)$£ è: £$\frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$£
Abbiamo considerato l’iperbole con i fuochi sull’asse £$x$£, per quella con i fuochi sull’asse £$y$£ cambia solo il coefficiente al secondo membro, ma i passaggi da fare sono uguali!
Se sviluppiamo la formula, otteniamo l’equazione dell’iperbole traslata con centro in £$O(p;q)$£: £$Ax^2 + By^2 +Cx+Dy+E=0$£
La formula per trovare il centro dell’iperbole traslata è: £$C \left( -\frac{C}{2A}; -\frac{D}{2B} \right)$£.
Questa equazione è simile a quella dell’ellisse traslata, l’unica cosa che cambia sono i coefficienti £$A$£ e £$B$£ che nell’ellisse sono concordi.
Il metodo di completamento del quadrato nell’iperbole traslata
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Vediamo ora come passare dall’equazione dell’iperbole traslata scritta in forma estesa, a quella canonica. Il procedimento che applichiamo si chiama completamento del quadrato.
In cosa consiste il metodo del completamento del quadrato? Partendo dall’equazione dell’iperbole traslata £$Ax^2 + By^2 +Cx+Dy+E=0$£ aggiungiamo e togliamo opportunamente dei termini al fine di ottenere dei quadrati che, sfruttando la formula del quadrato di un binomio (che abbiamo studiato nei prodotti notevoli: £$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$£), possiamo raccogliere ottenendo l’equazione dell’iperbole traslata scritta in forma canonica: £$\frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$£
Perché conviene passare dalla forma estesa a quella canonica dell’equazione di un’iperbole traslata? Nell’equazione in forma canonica è immediato riconoscere il vettore di traslazione.
Funzione omografica dell’iperbole equilatera
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Cosa succede se applichiamo una traslazione ad un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti? Otteniamo una funzione omografica!
L’equazione della funzione omografica, e quindi di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti traslata, si ottiene applicando le formule della traslazione all’equazione £$xy=k$£.
Le caratteristiche della funzione omografica sono:
- ha equazione: £$y=\frac{ax+b}{cx+d}$£ con £$c \ne 0 $£ e £$ad-bc \ne 0$£
- ha gli asintoti paralleli agli assi cartesiani
- il centro di simmetria ha coordinate £$C \left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c} \right)$£
- le equazioni degli asintoti sono: £$x=-\frac{d}{c}$£ e £$y=\frac{a}{c}$£
- se £$c=0$£ e £$d \ne 0$£ la funzione omografica diventa una retta
- se £$ad-bc=0$£ la funzione omografica è una retta orizzontale di equazione £$y=\frac{a}{c}$£
Esercizi sull’iperbole traslata
Ecco gli esercizi sull’iperbole traslata e sulla funzione omografica per prepararti all’interrogazione o alla verifica!
Sfida sull’iperbole
Testo della sfida
Iperbole traslata e funzione omografica: definizione - Galleria
Soluzione alla sfida
Iperbole traslata e funzione omografica: definizione - Galleria
Ormai sei bravissimo con l’iperbole, quindi anche le tue conoscenze di skateboarding stanno migliorando!
Ora la rampa va sotto terra. Sei pronto ad affrontare la sfida?