Equazione di un'iperbole: definizione ed esercizi
L’iperbole è una delle coniche fondamentali in geometria, insieme a ellisse, parabola e cerchio. Questa figura unica si forma dall’intersezione di un cono doppio con un piano che taglia entrambe le nappe del cono, ma non attraversa il vertice, risultando in una curva aperta composta da due rami disgiunti che si estendono all’infinito.
Caratterizzata dalle sue proprietà di simmetria e dalle sue asintoti, l’iperbole ha molteplici applicazioni pratiche e teoriche. Una delle sue proprietà più notevoli è che, per ogni punto sulla curva, la differenza delle distanze da due punti fissi (i fuochi) è costante. Questo la rende particolarmente interessante e utile in campi come l’astronomia e la navigazione, dove viene utilizzata per calcolare traiettorie di oggetti in movimento su percorsi iperbolici.
Ricaviamo passo passo l’equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse £$x$£ e quella con i fuochi sull’asse £$y$£ a partire dalla definizione come luogo dei punti del piano.
- Cos'è l'iperbole
- Equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse £$x$£
- Equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse £$y$£
- Esercizi sull'iperbole
- Sfida sull'iperbole
Cos’è l’iperbole
L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per cui la differenza delle distanze da due punti fissi £$F_1$£ e £$F_2$£ detti fuochi, è costante.
Alcune caratteristiche dell’iperbole sono:
- Due rami disgiunti: A differenza di altre coniche come l’ellisse o la parabola, l’iperbole è composta da due rami separati che non si incontrano mai, estendendosi all’infinito.
- Asintoti: Le iperboli hanno linee asintotiche che i rami dell’iperbole si avvicinano indefinitamente senza mai toccare. Queste asintoti sono cruciali per il disegno dell’iperbole e sono determinate dall’equazione dell’iperbole stessa.
- Fuochi: Come l’ellisse, l’iperbole ha due fuochi. Per ogni punto sull’iperbole, la differenza delle distanze dai due fuochi è costante. Questa proprietà riflette la definizione di iperbole come luogo geometrico dei punti.
- Eccentricità: L’iperbole ha un’eccentricità maggiore di 1, che descrive il grado di “apertura" dei suoi rami. Più l’eccentricità è alta, più piatti saranno i rami.
- Centro: Il punto medio tra i fuochi dell’iperbole è chiamato centro. L’iperbole è simmetrica rispetto a questo punto.
Visivamente, l’iperbole può essere rappresentata come l’insieme di tutti quei punti per cui il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi è una costante, disegnando così due rami che si incurvano sempre più lontani l’uno dall’altro man mano che si allontanano dal centro.
Equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse £$x$£
Tramite la definizione di iperbole come luogo dei punti riusciamo a ricavare l’equazione dell’iperbole. In particolare £$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$£ con £$a^2 \cdot b^2>0$£ è l’equazione canonica dell’iperbole con:
- centro nell’origine degli assi cartesiani;
- fuochi sull’asse delle ascisse.
In questo caso £$2a$£ è il valore assoluto della differenza delle distanze di un qualsiasi punto £$P$£ dell’iperbole dai due fuochi.
Equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse £$y$£
Se l’iperbole ha i fuochi sull’asse £$y$£ e il centro nell’origine degli assi, la sua equazione canonica è: $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$$
In questo caso £$2b$£ è il valore assoluto della differenza delle distanze di un qualsiasi punto £$P$£ dell’iperbole dai due fuochi.
Esercizi sull’iperbole
Hai appena scoperto cos’è l’iperbole ed è già tempo di interrogazione?
Ebbene sì! Stai tranquillo, ripassa cos’è un’iperbole e la sua equazione provando a risolvere questi esercizi!
Sfida sull’iperbole
Testo:
Soluzione:
Lo sapevi che li half-pipe per fare skate seguono l’equazione di un’iperbole? Prova a capire quale risolvendo la sfida!