Come si risolve una disequazione

Le disequazioni sono uno degli strumenti più potenti e versatili in matematica, fondamentali per analizzare e risolvere una vasta gamma di problemi pratici e teorici.

A differenza delle equazioni, che affermano l’uguaglianza tra due espressioni, le disequazioni esprimono una relazione di disuguaglianza, indicando che un lato è maggiore, minore, maggiore o uguale, o minore o uguale dell’altro.

Dopo aver capito di cosa si sta parlando impara a risolvere una disequazione. La soluzione di una disequazione è formata da un intervallo di valori. Come rappresentare questi intervalli? Guarda i video e fai gli esercizi!

• Cos'è una disequazione
• Cos'è l'intervallo di una disequazione
• Come si rappresentano le soluzioni delle disequazioni
• Interrogazione sulle disequazioni lineari
• Come risolvere le disequazioni fratte
• Esercizi sulle disequazioni
• Sfide sulle disequazioni

Cos’è una disequazione

Ripasso delle disequazioni - Galleria

Che cos’è una disequazione? È una disuguaglianza tra due espressioni, almeno una delle quali contiene una o più lettere considerate come incognite. La disuguaglianza è verificata solo per alcuni valori dati alle incognite: questi valori sono le soluzioni della disequazione.

La soluzione di una disequazione è un intervallo che può essere illimitato se comprende il valore £$\pm\infty$£ o limitato se non lo comprende, chiuso come per esempio l’intervallo £$[2,3]$£ o aperto cioè £$(2,3)$£.

Ora che sai che cos’è una disequazione e come si rappresentano le sue soluzioni sei pronto per risolverle usando i due principi di equivalenza con una piccola eccezione confronto alle equazioni:

• Sommando o sottraendo uno stesso numero da entrambi i membri della disequazione se ne ottiene una equivalente (cioè con lo stesse soluzioni) e il verso della disequazione non cambia.
• Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero positivo il verso della disequazione non cambia e se ne ottiene una equivalente, mentre moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero negativo si ottiene una disequazione equivalente cambiando il verso della disequazione.

Anche una disequazione, come un’equazione, può essere determinata, cioè esiste un intervallo di valori dell’incognita che la rendono vera, impossibile, cioè non esiste alcun valore dell’incognita che la renda vera, o sempre verificata, cioè qualsiasi valore sostituisci all’incognita la disequazione è sempre verificata!

Cos’è l’intervallo di una disequazione

Ripasso delle disequazioni - Galleria

Per risolvere le disequazioni, è fondamentale il concetto di intervallo di valori.
Un intervallo è un sottoinsieme dell’insieme dei numeri reali che può essere rappresentato come un segmento, ad esempio:

• £$(3,7)$£ è un intervallo
• £$(3,5) \cup (6,7)$£ non è un intervallo, ma un unione di intervalli.

Ci sono diversi tipi di intervalli. Scopri quali sono guardando la lezione!

Intervalli limitati e illimitati

Intervalli limitati

Intervalli illimitati

Un intervallo può essere limitato o illimitato: è illimitato quando almeno uno dei due estremi (inferiore o superiore) è l’infinito £$\infty$£. Si chiama limitato invece se entrambi gli estremi sono numeri reali, quindi valori finiti!

Esiste anche un’altra “etichetta" che si può dare ad un intervallo: aperto e chiuso. Bisogna guardare gli estremi dell’intervallo:

• £$(a,b)$£ è un intervallo limitato aperto a destra e a sinistra
• £$(a,b]$£ è un intervallo limitato aperto a sinistra e chiuso a destra
• £$[a,b)$£ è un intervallo limitato chiuso a sinistra e aperto a destra
• £$[a,b]$£ è un intervallo limitato chiuso a sinistra e a destra
• £$(-\infty, b]$£ è un intervallo illimitato inferiormente e chiuso a destra
• £$[a, +\infty)$£ è un intervallo illimitato superiormente e chiuso a sinistra
• £$(-\infty, b)$£ è un intervallo illimitato inferiormente e aperto a destra
• £$(a, +\infty)$£ è un intervallo illimitato superiormente e aperto a sinistra
• £$(-\infty, +\infty)$£ è un intervallo illimitato superiormente e inferiormente

Come si rappresentano le soluzioni delle disequazioni

Determinate, impossibili, sempre verificate

Esercizio svolto

Se sai risolvere le equazioni, allora sei sicuramente in grado di risolvere anche le disequazioni! Valgono sempre i due principi di equivalenza, con una piccola eccezione per il secondo: se moltiplichi o dividi una disequazione per un numero negativo devi cambiare anche il segno della disequazione.

Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso intervallo di soluzioni.

Analogamente a un’equazione anche una disequazione può essere determinata, cioè esiste un intervallo di valori dell’incognita £$x$£ che la rendono vera, impossibile, cioè non esiste alcun valore di £$x$£ che la renda vera o sempre verificata, cioè qualsiasi valore sostituisci all’incognita £$x$£ la disequazione è sempre verificata!

Come puoi verificare se un punto appartiene all’intervallo delle soluzioni di una disequazione, senza risolverla? Facilissimo prendi il valore del punto e sostituiscilo all’incognita £$x$£ dell’equazione: se la disequazione è vera allora il punto appartiene all’intervallo delle soluzioni, se è falsa no!

Interrogazione sulle disequazioni lineari

Ti è tutto chiaro? Principi di equivalenza, versi di disequazioni che cambiano e quando, disequazioni lineari non hanno più segreti per te? Mettiti alla prova con la nostra interrogazione!

Come risolvere le disequazioni fratte

Le disequazioni fratte sono quelle disequazioni che hanno l’incognita sia al numeratore che al denominatore. Per risolvere una disequazione fratta bisogna:

1. scrivere a primo membro £$\dfrac{N(x)}{D(x)} $£;
2. risolvere £$N(x) \ge 0 $£ e £$D(x) > 0$£ (senza l’uguale);
3. fare il prodotto dei segni e considerare gli intervalli concordi con il segno della disequazione.

Esercizi sulle disequazioni

Per ripassare le disequazioni in modo efficace, mettiti alla prova risolvendo questi esercizi sulle disequazioni intere e fratte.

Hai dei dubbi? Riguarda la lezione quante volte vuoi e torna qui quando ti senti pronto!

Sfide sulle disequazioni

Sfida #1

Soluzione:

E dopo la montagna finlamente il mare! Stefano ed Elena hanno a disposizione £$150$£ euro per noleggiare pedalò, maschere e pinne. Vorrebbero tenersi qualche spicciolo anche per il gelato. Leggi la sfida e cerca di impostare la disequazione corretta! Se hai qualche dubbio, hai la soluzione pronta da consultare.

Sfida #2

Ripasso delle disequazioni - Galleria

Soluzione:

Ripasso delle disequazioni - Galleria

Un atroce dubbio attanaglia il gruppo di amici nerd: chi ha visto più volte il film “Il signore degli anelli"?
Per risolvere il loro dubbio devi aiutarli a risolvere una disequazione. Ce la farai?