Formulario completo di calcolo combinatorio

Gli esercizi di calcolo combinatorio sono abbastanza semplici. Oltre a riconoscere e quindi schematizzare la situazione, è necessario conoscere le formule di calcolo combinatorio da utilizzare. Qui potrai ripassare tutte le formule utili per risolvere gli esercizi di calcolo combinatorio.

Vuoi ripassare tutte le formule utili per gli esercizi di calcolo combinatorio? Sei nel posto giusto! In questa lezioni troverai:

• formula di £$n$£ fattoriale
• come calcolare il numero di permutazioni (semplici o con ripetizione)
• come calcolare il numero di disposizioni (semplici o con ripetizione)
• come calcolare il numero di combinazioni (semplici o con ripetizione)

• Formula di n fattoriale £$(n!)$£
• Formulario delle permutazioni
• Formulario delle disposizioni
• Formulario delle combinazioni

Formula di n fattoriale £$(n!)$£

Il fattoriale di £$n$£, detto anche £$n$£ fattoriale, è il prodotto dei numeri naturali minori o uguali a £$n$£. Il simbolo usato per indicare £$n$£ fattoriale è £$n!$£ e vale

$$n!=n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot \ldots \cdot 3\cdot 2 \cdot 1$$

Per esempio, £$5!= 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$£.

Formulario delle permutazioni

Una permutazione di £$n$£ elementi è l’insieme delle sequenze ordinate di £$n$£ elementi.
Nelle permutazioni semplici, gli elementi sono tutti diversi. Il numero di permutazioni semplici di £$n$£ elementi è uguale a

$$P_n = n!=n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$$

Se invece alcuni elementi si ripetono, e indichiamo con £$k_{1}$£, £$k_{2},\ldots k_{n}$£ il numero di volte che ogni singolo elemento si ripete della permutazione, la formula diventa

$$P_{n}’=\frac{n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdot \ldots \cdot k_{n}!}$$

Ad esempio, il numero di permutazioni con ripetizione di £$7$£ elementi con un elemento che si ripete £$3$£ volte e un altro che si ripete £$2$£ volte, è uguale a

$$P_{7}’=\frac{7!}{3!\cdot 2!}=\frac{5040}{6\cdot 2}=420$$

Formulario delle disposizioni

Una disposizione di £$n$£ elementi presi a gruppi di £$k$£ è l’insieme delle sequenze ordinate di £$k$£ elementi presi da un insieme di £$n$£
Nelle disposizioni semplici, gli elementi sono tutti diversi. La formula per calcolare il numero di disposizioni semplici di £$k$£ elementi presi da un insieme di £$n$£ elementi (e quindi £$k \le n $£) è

$$D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}=n \cdot (n-1) \cdot … \cdot (n-k+1)$$

Se invece alcuni elementi si ripetono, la formula per calcolare il numero di disposizioni con ripetizione è

$$D’_{n,k}=n^k$$

dove £$n$£ è il numero di elementi e £$k$£ la lunghezza della sequenza (o numero massimo di ripetizioni).

Binomio di Newton

Il coefficiente binomiale o binomio di Newton è dato dalla formula $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

Viene chiamato binomio di Newton perché rappresenta, al variare di £$k$£ i coefficienti della potenza £$n$£-esima di un binomio.
Sono quindi i numeri presenti, alla £$k$£-esima riga del triangolo di Tartaglia.

Formulario delle combinazioni

Il numero di combinazioni semplici (cioè di sequenze non ordinate) di £$n$£ elementi presi a gruppi di £$k$£ è dato dalla formula

$$ C_{n,k}=\frac{D_{n,k}}{P_k}=\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$$

Se gli elementi possono ripetersi, il numero di combinazioni con ripetizione è dato dalla formula

$$C’ _{n,k}= C_{n+k-1,k}= \binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)! \cdot k!}$$