Teorema del resto e teorema di Ruffini: teoria ed esempi
Il teorema del resto e il teorema di Ruffini sono due concetti chiave in matematica che ci aiutano a capire meglio come funzionano i polinomi.
Il teorema del resto fornisce un modo rapido per determinare il resto della divisione di un polinomio per un binomio di primo grado. In altre parole, ci offre un modo veloce per trovare il resto senza dover fare tutta la divisione.
Il teorema di Ruffini, d’altra parte, presenta un metodo efficiente e sistematico per dividere polinomi, un po’ come una scorciatoia. Questo teorema prende il nome da Paolo Ruffini, un matematico italiano che lo ha reso popolare. La regola di Ruffini è utile perché rende la divisione dei polinomi più semplice e meno disordinata rispetto al metodo tradizionale, soprattutto quando i polinomi sono lunghi o complicati.
Conoscere il teorema del resto e il teorema di Ruffini può quindi farti risparmiare tempo e fatica. Come applicarli? Scopriamolo insieme con una serie di video ed esercizi!
- II teorema del resto
- Il teorema di Ruffini
- Casi particolari del teorema di Ruffini
- Interrogazione su teorema del resto e teorema di Ruffini
- Sfida sul teorema del resto
II teorema del resto
Il teorema del resto serve a calcolare velocemente il resto della divisione di un polinomio qualsiasi £$A(x)$£ per un binomio del tipo £$(x-a)$£.
Basta sostituire alla £$x$£ del dividendo la a del binomio divisore.
Se avessimo voluto trovare il resto di £$(5x^2+3x+7):(x+4)$£, avremmo potuto applicare il teorema: basta pensare a £$x+4$£ come £$x-(-4)$£ e sostituire la £$x$£ con £$-4$£.
Il teorema di Ruffini
Il teorema di Ruffini serve a capire velocemente se un polinomio £$A(x)$£ è divisibile esattamente (cioè con £$Resto=0$£) per un binomio £$x-a$£.
Il polinomio £$A(x)$£ è divisibile esattamente per il binomio £$x-a$£ se, sostituendo alla £$x$£ del polinomio il valore £$a$£, il polinomio è uguale a 0, cioè se £$A(a)=0$£.
Il teorema di Ruffini, quindi, non è altro che un caso particolare del teorema del resto.
Casi particolari del teorema di Ruffini
In questo video vedrai due casi particolari.
Differenza di due cubi: £$x^3-a^3= (x-a)(x^2+ax+a^2)$£
- Applicando il teorema di Ruffini: £$x^3-a^3$£ è divisibile per £$x-a$£ perché sostituendo £$a$£ alla variabile £$x$£ (di £$x^3$£) otteniamo £$a^3-a^3=0$£
- Applicando la regola di Ruffini: possiamo calcolare il quoziente £$(x^3-a^3):(x-a)=x^2+ax+a^2$£
Somma di due cubi: £$x^3+a^3= (x+a)(x^2-ax+a^2)$£
- Applicando il teorema di Ruffini: £$x^3+a^3$£ è divisibile per £$x+a$£ perché sostituendo £$-a$£ alla variabile £$x$£ (di £$x^3$£) otteniamo £$a^3-a^3=0$£
- Applicando la regola di Ruffini: possiamo calcolare il quoziente £$(x^3+a^3):(x+a)=x^2-ax+a^2$£
Interrogazione su teorema del resto e teorema di Ruffini
Hai visto i video e capito bene quando si usano il teorema del resto e il teorema di Ruffini? Benissimo! Allora le domande della nostra interrogazione ti sembreranno facilissime!
Sfida sul teorema del resto
Sfida…
…e soluzione!
Come risparmiare tempo per sapere se la divisione tra un polinomio e un binomio dà resto nullo o no? Se lo chiede anche Igor della famiglia Viajowsky! Prova a risolvere la sfida e poi inizia a fare gli esercizi sul teorema del resto e il teorema di Ruffini!