Frazioni algebriche: calcolo di tutte le operazioni
Le frazioni algebriche sono espressioni che contengono almeno una variabile al denominatore. In altre parole, una frazione algebrica è simile a una frazione numerica, ma al posto di numeri interi, troviamo polinomi sia al numeratore che al denominatore. Queste frazioni sono molto comuni in algebra e sono usate per rappresentare rapporti di espressioni polinomiali.
Adesso che abbiamo imparato che cos’è una frazione algebrica e come si semplifica, vediamo le operazioni che possiamo fare con le frazioni algebriche.
In questa video lezione imparerai:
- Somma di frazioni algebriche: come possiamo sommare due o più frazioni algebriche
- Moltiplicazione e divisione: cosa vuol dire moltiplicare o dividere due o più frazioni algebriche
- Potenza: come eleviamo una frazione algebrica a potenza
- Frazioni algebriche e condizioni di esistenza: cosa è una frazione algebrica e quando perde di significato
- Frazioni algebriche equivalenti: definizione di frazione algebrica equivalente
Qui trovi tutto quello di cui hai bisogno per affrontare le operazioni con le frazioni algebriche: tante lezioni ed esercizi e consigli sugli errori da non fare!
- Come calcolare la somma algebrica di frazioni algebriche
- Moltiplicazione e divisione di frazioni algebriche
- Potenza di una frazione algebrica
- Frazioni algebriche e condizioni di esistenza
- Frazioni algebriche equivalenti
- Esercitati con le frazioni algebriche
Come calcolare la somma algebrica di frazioni algebriche
Nel caso di frazioni algebriche con lo stesso denominatore la somma è una frazione algebrica che ha per:
- denominatore lo stesso denominatore
- numeratore la somma algebrica dei numeratori
Quindi £$ \frac{A(x)}{B(x)}+\frac{C(x)}{B(x)}=\frac{A(x)+C(x)}{B(x)} $£.
Nel caso di frazioni algebriche con denominatori diversi la somma si ottiene:
- scomponendo in fattori i denominatori e ponendo le C.E.
- riducendo le frazioni algebriche allo stesso denominatore (m.c.m. dei denominatori)
- eseguendo le moltiplicazioni al numeratore
- eseguendo le somme al numeratore
- semplificando la frazione algebrica
Quindi £$ \frac{A(x)}{B(x)}+\frac{C(x)}{D(x)}=\frac{A(x)D(x)+B(x)C(x)}{B(x)D(x)} $£
Moltiplicazione e divisione di frazioni algebriche
Come moltiplicare o dividere le frazioni algebriche
Il prodotto di due o più frazioni algebriche è una frazione che ha per:
- numeratore il prodotto dei numeratori
- denominatore il prodotto dei denominatori
In particolare:
- scomponiamo in fattori i denominatori e poniamo le C.E.
- semplifichiamo le frazioni algebriche
Quindi £$ \frac{A(x)}{B(x)}\cdot \frac{C(x)}{D(x)}=\frac{A(x)\cdot C(x)}{B(x)\cdot D(x)} $£
La divisione tra due frazioni algebriche è la moltiplicazione della prima frazione per il reciproco della seconda frazione.
Quindi £$ \frac{A(x)}{B(x)} : \frac{C(x)}{D(x)}=\frac{A(x)}{B(x)}\cdot \frac{D(x)}{C(x)} $£
Le C.E. sono:
- £$ B(x)\neq 0 \; , D(x)\neq 0 $£ per l’esistenza delle due frazioni algebriche
- £$ C(x)\neq 0 $£ per assicurarci che non stiamo dividendo per £$ 0 $£
E adesso due esercizi svolti!
Moltiplicazione di frazioni algebriche
Divisione di frazioni algebriche
Potenza di una frazione algebrica
Come calcolare la potenza di una frazione algebrica
Esercizio svolto: calcolo di una potenza di frazione algebrica
La potenza di una frazione algebrica è una frazione algebrica che ha per:
- numeratore il numeratore elevato a potenza
- denominatore il denominatore elevato a potenza
Quindi £$ \left( \frac{A(x)}{B(x)}\right)^{2}=\frac{(A(x))^{2}}{(B(x))^{2}} $£
Frazioni algebriche e condizioni di esistenza
Quando dividiamo un polinomio, non sempre il risultato è un polinomio.
Se dividiamo il polinomio £$ A(x) $£ e il polinomio £$ B(x) $£, con £$ B(x) \ne $£ polinomio nullo, il risultato si chiama frazione algebrica £$ \frac{A(x)}{B(x)} $£.
Attenzione! Monomi e polinomi sono frazioni algebriche con denominatore £$ 1 $£.
Come le frazioni numeriche, anche quelle algebriche perdono di significato se il denominatore è £$ = 0 $£. Dobbiamo sempre verificare che il denominatore non sia nullo e quindi esplicitare le condizioni di esistenza (C.E.).
Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.
Frazioni algebriche equivalenti
Come per le frazioni numeriche anche per quelle algebriche possiamo dire che sono equivalenti se i prodotti “in croce" sono uguali.
£$ \frac{A(x)}{B(x)} $£ è equivalente a £$ \frac{C(x)}{D(x)} $£ se e solo se £$ A(x)D(x)=B(x)C(x) $£
Anche per le frazioni algebriche vale la proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso polinomio otteniamo una frazione equivalente.
Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.
Esercitati con le frazioni algebriche
Trova le condizioni di esistenza! Guarda il video per capire come trovare le condizioni di esistenza di una frazione algebrica. Non sbagliare, impara il procedimento corretto!
Ti senti preparato sulle frazioni algebriche? Prova a risolvere questi esercizi. Controlla i risultati e non dimenticarti le condizioni di esistenza!
Scarica qui il pdf con gli esercizi:
Domande dell’interrogazione
Nelle operazioni con le frazioni algebriche si nascondono molte insidie per gli studenti. L’errore è dietro l’angolo. Non farti fregare! Guarda le possibili domande che ti possono fare nell’interrogazione!
Risolvi la sfida
Sfida:
Sai che tu consumi £$\frac{(o+b)}{n} $£ al chilometro e lui consumerà £$\frac{(o+b)}{m} $£ al chilometro, quindi in totale ogni chilometro consumerete:
$$\frac{(o+b)}{n} + \frac{(o+b)}{m} $$ $$\frac{[m(o+b)+n(o+b)]}{(mn)}$$ $$\frac{[(n+m)(o+b)]}{(mn)} $$
Questa frazione algebrica indica il consumo complessivo dei due motorini per ogni chilometro. Però, mica poco!