Il calcolo delle derivate: formule ed esempi

Per calcolo delle derivate intendiamo il calcolo della derivata di somme, prodotti, quozienti di funzioni. Riassumi tutte le formule in una tabella del calcolo delle derivate!

In analisi matematica le derivate sono definite tramite il limite del rapporto incrementale. Non tutte le funzioni sono derivabili nel loro dominio e i punti in cui non si può calcolare la derivata si chiamano punti di non derivabilità. Per calcolare la derivata delle funzioni elementari non è necessario risolvere sempre il limite del rapporto incrementale, una volta dimostrate le formule delle derivate fondamentali puoi usare quelle!

Capita raramente di dover studiare una funzione elementare da sola! Le funzioni che usiamo sono somme, prodotti, quozienti, composizioni di funzioni elementari. Come si calcola la derivata di queste funzioni? Utilizziamo le regole delle derivate fondamentali unite a quelle del calcolo delle derivate di somme, prodotti, quozienti e composizione di funzioni elementari, che impareremo con questi brevi video ed esercizi svolti.

• Come calcolare la derivata della somma di funzioni
• Come calcolare la derivata del prodotto di funzioni?
• Come derivare il prodotto di tre o più funzioni
• Come calcolare la derivata di un quoziente
• Ricorda il dominio della funzione

Come calcolare la derivata della somma di funzioni

Se prendi due funzioni e le sommi, cosa succede? Trovi una nuova funzione! Ad esempio se prendi la funzione £$f(x)=x$£ e £$g(x)=x^3$£ la funzione somma è £$s(x)=f(x)+g(x)=x+x^3$£.

Come si calcola la derivata della somma di due o più funzioni? Hai studiato le derivate fondamentali quindi sai calcolare la derivata delle funzioni elementari, ora puoi sfruttare queste regole per calcolare la derivata della somma.

La regola per calcolare la derivata della somma di funzioni è la più semplice da ricordare: la derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle due funzioni:

$$ s'(x)=(f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x) $$

Riprendiamo l’esempio. Sappiamo calcolare la derivata delle due funzioni elementari £$f(x)=x$£ e £$g(x)=x^3$£: £$f’x)=1$£ e £$g'(x)=3x^2$£. La derivata della somma sarà: £$s'(x)=f'(x)+g'(x)=1+3x^2$£, cioè la somma delle derivate delle due funzioni sommate.

E se le funzioni sommate sono più di due? La regola vale ancora! E vale per un qualsiasi numero di funzioni sommate: £$s(x)=x+ \ln x +x^2+ e^x$£ ha derivata £$s'(x)=1+\frac{1}{x}+2x+e^x$£

La stessa regola vale se al posto dell’addizione c’è la sottrazione. Quindi possiamo dire che vale per la somma algebrica di due funzioni.

Come calcolare la derivata del prodotto di funzioni?

Regola di derivazione del prodotto

Esempio:

Hai due funzioni e le moltiplichi. Cosa succede? Ottieni una nuova funzione: la funzione prodotto.

Per esempio hai la funzione £$f(x)=x^2$£ e la funzione £$g(x)= sen (x)$£, moltiplicale e ottieni una nuova funzione £$p(x)= x^2 \cdot sen (x)$£.

Come fai per calcolare la derivata? La derivata del prodotto di funzioni NON è uguale al prodotto delle derivate delle due funzioni (fattori). Vediamo come funziona per il prodotto di due funzioni: la derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto del primo fattore derivato per il secondo senza derivare, sommato al primo senza derivare per il secondo derivato: £$ (f(x) g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) $£. Se le due funzioni sono quelle dell’esempio precedente abbiamo: £$f(x)=x^2 \to f'(x)=2x$£ e £$g(x)=sen (x) \to g'(x)=cos(x)$£, la derivata del prodotto è: £$p'(x)=2x \cdot sen (x)+x^2 \cdot cos (x)$£.

Il prodotto e la somma sono commutativi quindi non è importante quale consideri come primo o secondo fattore, quello che conta è che quello che derivi la prima volta non sia derivato la seconda e viceversa per il secondo!

Quando può essere realmente utile la regola di derivazione del prodotto? Raramente ti capiterà di dover moltiplicare due o più funzioni, più spesso ti capiterà di avere una funzione che non sai derivare e che, scomposta nel prodotto di due funzioni elementari è facile da derivare. Per esempio la funzione £$h(x)=\ln (x)^{x^2}$£ non ha derivata immediata, ma applicando le proprietà dei logaritmi puoi scriverla come il prodotto: £$h(x)=x^2 \cdot \ln x$£.

Il prodotto di una funzione per una costante, è un caso particolare di prodotto di funzioni dove una delle due funzioni è sempre una costante. La formula della derivata del prodotto per una costante diventa: £$c f(x))’=c f’(x)$£. Cioè se moltiplico £$f(x)=x$£ per la costante £$7$£, ottengo la funzione £$p(x)=7x$£ che ha derivata £$p'(x)=7 \cdot 1+0 \cdot x=7 \cdot 1 =7$£

Come derivare il prodotto di tre o più funzioni

Abbiamo visto la formula della derivata del prodotto di due funzioni. Per la derivata del prodotto di tre o più funzioni, qual è la regola? Sempre la stessa! Basta applicare la proprietà associativa del prodotto e poi la regola di derivazione del prodotto di due funzioni.

Se £$p(x)=f(x)g(x)h(x)$£ è il prodotto di tre funzioni, associa due di queste e scrivi il prodotto così: £$p(x)=f(x) \cdot (g(x)\cdot h(x))$£ e la derivata è £$p'(x)=f'(x) \cdot (g(x)h(x))+f(x)(g(x)h(x))’$£ Cioè, sviluppando i calcoli:

£$p'(x)=f'(x)g(x)h(x)+f(x)(g'(x)h(x)+g(x)h'(x))=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$£

Per esempio se le tre funzioni sono £$f(x)=x^2$£, £$g(x)=sen (x)$£ e £$h(x)=\sqrt{x}$£, moltiplicandole ottieni la funzione prodotto £$p(x)=x^2 \cdot sen(x) \cdot \sqrt{x}$£. La derivata del prodotto £$f(x)\cdot g(x)$£ è £$(2x \cdot sen (x)+x^2 \cdot cos (x))$£, quindi associamo le funzioni così: £$p(x)=(x^2 \cdot sen (x)) \cdot \sqrt{x}$£, calcoliamo la derivata: £$p'(x)=(2x \cdot sen (x)+x^2 \cdot cos (x)) \cdot \sqrt{x}+ (x^2 \cdot sen (x)) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}= 2x \cdot sen (x) \cdot \sqrt{x}+x^2 \cdot cos (x) \cdot \sqrt{x}+x^2+sen(x)+\frac{1}{2\sqrt{x}}$£.

Se il prodotto è di quattro, cinque o più funzioni, la regola è sempre la stessa. Riscrivi il prodotto con la proprietà associativa e utilizza la formula della derivata del prodotto!

Come calcolare la derivata di un quoziente

Derivata di un quoziente di funzioni

Esempi ed errori comuni

Prendi due funzioni elementari, per esempio £$f(x)=sen \ x$£ e £$g(x)=cos \ x$£, e mettine una al numeratore e l’altra al denominatore. Avari una nuova funzione: la funzione quoziente! Riprendendo l’esempio: £$q(x)=\frac{sen \ x}{cos \ x}$£ è la funzione quoziente.

Come si calcola la derivata del quoziente di funzioni? La derivata di un quoziente è:

• numeratore: la differenza della derivata della funzione al numeratore per la funzione al denominatore non derivata, con la funzione al numeratore non derivata, per la derivata della funzione al denominatore
• denominatore: quadrato della funzione al denominatore.

Se proprio non puoi fare a meno delle formule: £$f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}$£ ha derivata £$ f’(x) = \left( \frac{N(x)}{D(x)} \right)’ = \frac{N’(x)D(x)-N(x)D’(x)}{[D(x)]^2}$£.

Quindi, la derivata di £$h(x)=\frac{sen \ x}{cos \ x}$£ è £$h'(x)=\frac{cos \ x \cdot cos \ x- sen \ x (-sen \ x)}{cos^2x}$£.

Come la formula della derivata del prodotto di funzioni, anche quella del quoziente è molto utile quando non sai derivare una funzione, ma puoi vederla come il quoziente di due funzioni elementari che sai derivare. Per esempio hai la funzione £$h(x)=tg \ x$£, che non ha una derivata immediata, ma per la seconda relazione fondamentale della goniometria sai che £$tg \ x= \frac{sen \ x }{cos \ x}$£, che è proprio il quoziente dell’esempio precedente, e che ha derivata: £$h'(x)=(tg(x))’=\frac{cos \ x \cdot cos \ x- sen \ x (-sen \ x)}{cos^2x}=\frac{cos^2x + sen^2 x}{cos^2x}=\frac{1}{cos^2 x}$£.

Se la regola di derivazione di un quoziente di funzioni non ti entra in testa, ricordati sempre che puoi vedere ogni quoziente come un prodotto del numeratore per il reciproco del denominatore, e puoi così applicare la regola di derivazione del prodotto di funzioni anche nel quoziente. In alcuni momenti ti verrà da scrivere la derivata del quoziente di due funzioni come il quoziente delle due derivate, questo NON è corretto, perché non corrisponde con la formula di derivazione del quoziente di funzioni.

Ricorda il dominio della funzione

Qual è la derivata di £$f(x)=\ln x $£? Facile è £$f'(x)=\frac{1}{x}$£. Ma questo solo per x > 0, cioè per le x che sono nel dominio della funzione! Quindi ogni volta che calcoliamo la derivata di una funzione, dobbiamo sempre stare attenti al suo dominio.

Vediamo un altro caso in cui dobbiamo stare attenti: la funzione £$f(x)=\frac{x^3}{x}$£ ha derivata £$f'(x)=2x$£ che è uguale alla derivata di £$g(x)=x^2$£. Ma quindi hanno la stessa derivata? Quasi. Infatti la funzione £$f$£ non è definita in £$ x=0 $£ anche se lì ha un punto di discontinuità eliminabile. Anche per la sua derivata vale lo stesso ragionamento, quindi £$f(x)=\frac{x^3}{x}$£ ha derivata £$f'(x)=2x$£ tranne in £$x = 0 $£. Rimane comunque un punto di discontinuità eliminabile.

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.