Derivate delle funzioni fondamentali: le formule

Le derivate fondamentali sono le derivazioni di base delle funzioni elementari, che formano il nucleo del calcolo differenziale. Conoscere queste derivate è essenziale per procedere con studi più avanzati in matematica, fisica e ingegneria, perché permettono di analizzare il comportamento delle funzioni e di modellare cambiamenti e tendenze in vari contesti pratici.

Cerchi le formule delle derivate fondamentali? In questa lezione trovi tutte le derivate di funzioni e le loro dimostrazioni: funzione costante, funzione potenza e potenza con esponente negativo di derivate fondamentali e funzione radice.

Detto ciò, per velocizzare i calcoli, può essere utile avere sotto mano una tabella delle derivate, in modo da non perdere tempo a calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale.

• Funzione costante
• Funzione potenza
• Potenza con esponente negativo di derivate fondamentali
• Funzione radice
• Tabella derivate funzioni potenza, logaritmi, esponenziali
• Tabella derivate funzioni goniometriche
• Tabella regole di derivazione delle funzioni
• Derivate di funzioni composte

Funzione costante

Una funzione costante è una funzione in cui il valore di uscita è sempre lo stesso, indipendentemente dall’input.

La derivata prima di una costante è nulla: £$ f(x)=c \rightarrow f'(x)=0 $£

Poiché il valore di $f(x)$ non cambia, la derivata di una funzione costante è zero, il che indica che non c’è variazione o inclinazione nella linea rappresentata da questa funzione su un grafico cartesiano. La derivata descrive la variazione di una funzione. Se la funzione è una costante, allora non cambia, cioè ha variazione nulla, e quindi ha derivata nulla. Questo si traduce in una linea orizzontale quando la funzione è rappresentata graficamente.

Funzione potenza

Regola generale

Dimostrazione

Le funzioni potenza possono descrivere relazioni in cui una quantità varia in modo proporzionale ai poteri di un’altra. Ad esempio, l’area di un quadrato varia proporzionalmente al quadrato della lunghezza del suo lato, che è una funzione potenza.

Le funzioni potenza sono della forma £$ f(x)=x^n $£ dove £$ n $£ è un qualsiasi numero intero o razionale (una frazione). La derivata prima di una funzione potenza è £$ f'(x)=nx^{(n-1)} $£. Per la dimostrazione della formula dobbiamo ricordare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.

Potenza con esponente negativo di derivate fondamentali

Le funzioni £$ f(x)=\frac{1}{x} $£ o, per esempio, £$ f(x)=\frac{1}{x^3} $£ sono delle funzioni potenza con esponente negativo.

Per trasformarle in funzioni potenza dobbiamo usare la proprietà delle potenze: £$ \frac{1}{x^n}=x^{-n}$£.

Dopo questa trasformazione possiamo ancora applicare la regola delle funzioni potenza che conosciamo. Quindi se £$ n < 0 $£ è un numero intero o razionale (una frazione), allora la funzione £$ f(x)=x^n $£ ha derivata £$ f'(x)=n x^{(n-1)} $£

Funzione radice

Le funzioni £$ f(x)=\sqrt{x} $£ o, per esempio, £$ f(x)=\sqrt[4]{x^3} $£ sono radici, cioè funzioni potenza con una frazione come esponente . Per trasformarle in una funzione potenza con esponente frazionario dobbiamo usare la proprietà delle potenze: £$ \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$£. Dopo questa trasformazione possiamo ancora applicare la regola delle funzioni potenza che conosciamo.

Quindi, se £$ n$£ è un numero razionale, cioè una frazione, allora la funzione £$ f(x)=x^n $£ ha derivata £$ f'(x)=n x^{(n-1)} $£

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella prossima lezione.

Tabella derivate funzioni potenza, logaritmi, esponenziali

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Funzione } f(x) & \text{Derivata } f'(x) \\ \hline k \text{ (costante)} & 0 \\ \hline x^n & nx^{n-1} \\ \hline e^x & e^x \\ \hline a^{x} & a^x \ln(a) \\ \hline \ln(x) & \frac{1}{x} \\ \hline \log_{a}(x) & \frac{1}{x}\log_{a}(e) \\ \hline \end{array}$$

Tabella derivate funzioni goniometriche

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Funzione } f(x) & \text{Derivata } f'(x) \\ \hline sen\,x & cos\,x \\ \hline cos\,x & -sen\,x \\ \hline tgx & \frac{1}{cos^2x}=1+tg^2x \\ \hline cotgx & -\frac{1}{sen^2 x}=-(1+cotg^2x) \\ \hline arcsen\,x & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \hline arccos\,x & -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \hline arctg\,x & \frac{1}{1+x^2} \\ \hline arccotg\,x & -\frac{1}{1+x^2} \\ \hline \end{array}$$

Tabella regole di derivazione delle funzioni

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Funzione } & \text{Derivata } \\ \hline f(x)+g(x) & f'(x)+g'(x) \\ \hline k\cdot f(x) & k\cdot f'(x) \\ \hline f(x)\cdot g(x) & f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x) \\ \hline \frac{f(x)}{g(x)} & \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \\ \hline f(g(x)) & f'(g(x))\cdot g'(x) \\ \hline f(x)^{g(x)} & f(x)^{g(x)} \cdot \left[g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)}\right] \\ \hline \end{array}$$

Derivate di funzioni composte

$$\begin{array}{|c|c|}\hline{\text{Funzione }} & {\text{Derivata } }\\ \hline{f(x)^{n}} & {n\cdot f(x)^{n-1}\cdot f'(x)} \\ \hline {e^{f(x)}} & {e^{f(x)}\cdot f'(x)}\\ \hline {\ln (f(x))} & {\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)}\\ \hline {sen(f(x))} & {cos(f(x))\cdot f'(x)}\\ \hline {cos(f(x))} & {-sen(f(x))\cdot f'(x)} \\ \hline {arctg(f(x))} & {\frac{1}{1+ [f(x)]^2}\cdot f'(x)} \\ \hline \end{array}$$