Come calcolare i limiti con la formula di Taylor

La formula di Taylor è un importante strumento della matematica utilizzato per il calcolo dei limiti. Questa formula consente di rappresentare una funzione analitica come una somma di potenze di $x$ (o di un’altra variabile) intorno a un punto $a$ mediante i suoi valori e le sue derivate in quel punto.

La formula di Taylor ci dà modo di approssimare una funzione derivabile n volte vicino a un punto tramite un polinomio particolare, detto polinomio di Taylor. È un polinomio univocamente determinato data la funzione, dal momento che i suoi coefficienti dipendono dai valori delle derivate calcolate nel punto in cui vogliamo approssimare la funzione.

Non ci resta che scoprire come calcolare i polinomi di Taylor delle funzioni, verificando anche l’errore che commettiamo nell’approssimazione: scopri il metodo del resto di Peano e impara a usare il concetto di infinitesimo di ordine superiore chiamato anche "o piccolo".

• Serie di Taylor: il polinomio di MacLaurin
• Polinomio di Taylor: la funzione
• Formula di Taylor con il resto di Peano
• Formula di Taylor dal punto di vista grafico
• Formula di Taylor nel calcolo dei limiti
• Regole da seguire per calcolare i limiti con Taylor

Serie di Taylor: il polinomio di MacLaurin

Il polinomio di MacLaurin è una forma particolare della serie di Taylor, utilizzata per approssimare una funzione tramite un polinomio intorno al punto $a=0$.

Scegliamo un polinomio £$p(x)=a_0 + a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$£ di grado £$n$£, con £$a_k \in \mathbb{R}$£. Sappiamo che il polinomio è derivabile infinite volte e che le derivate di ordine maggiore di £$n$£ sono tutte nulle. Esiste una relazione tra i coefficienti e le derivate del polinomio, infatti:

• £$p(0)=a_0$£
• £$p'(x)=a_1 + 2a_{2}x+\ldots + na_{n}x^{n-1} \to p'(0)=a_1$£
• £$p"(x)=2a_2 + 6a_{3}x+\ldots + n(n-1)a_{n}x^{n-2} \to p"(0)=2a_2 \to a_2=\frac{p"(0)}{2}$£
• £$p^{(3)}(x)=6a_3 + 24a_{4}x+\ldots + n(n-1)(n-2)a_{n}x^{n-3} \to p'(0)=6a_3 \to a_3=\frac{p^{(3)}(0)}{3!}$£

e così via. Quindi abbiamo che i coefficienti sono legati al valore delle derivate in £$x=0$£. Infatti abbiamo che £$a_{k}=\frac{p^{(k)}(0)}{k!}$£

Quindi un polinomio di grado £$n$£ è univocamente determinato una volta noti i valori assunti dal polinomio e dalle sue derivate in £$x=0$£.

Consideriamo ora una funzione £$f$£ che sia derivabile £$n$£ volte. Possiamo costruire un polinomio £$p_n(x)$£, di grado £$n$£, tale che abbia i coefficienti dipendenti dalle derivate della funzione £$f$£ valutate in £$x=0$£ secondo la regola che abbiamo visto prima:

£$p_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f"(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\ldots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$£

Questo polinomio ha le derivate valutate in £$x=0$£ uguali alle derivate della funzione £$f$£ valutate in £$x=0$£. Per come è stato costruito, il polinomio £$p_n(x)$£ è l’unico polinomio le cui derivate coincidono, per £$x=0$£, con le derivate della funzione £$f$£. Questo polinomio è detto polinomio di Maclaurin di grado £$n$£ della funzione £$f$£.

Possiamo rappresentare il polinomio di Maclaurin usando il simbolo di sommatoria: £$p_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$£

ESEMPIO: consideriamo la funzione £$f(x)=sen\,x$£. Costruiamo il suo polinomio di Maclaurin di grado £$3$£. Per prima cosa, calcoliamo le derivate della funzione nel punto £$x=0$£:

£$f(0)=sen(0)=0, \ f'(0)=cos(0)=1, \ f"(0)=-sen(0)=0, \ f^{(3)}(0)=-cos(0)=-1$£

Quindi il polinomio di Maclaurin di grado £$3$£ della funzione £$f(x)=sen\,x$£ è £$p_{3}(x)=x-\frac{x^3}{6}$£

Polinomio di Taylor: la funzione

Abbiamo visto come costruire il polinomio di MacLaurin di una funzione £$f$£. Possiamo generalizzare questo risultato andando a costruire il polinomio che ha le stesse caratteristiche di quello visto prima, ma considerando un punto generico £$x_0$£. Ovviamente, vogliamo che la funzione sia derivabile £$n$£ volte in £$x_0$£ e:

£$p_n(x_0)=f(x_0), \ p_{n}'(x_0)=f'(x_0), \ldots, p_{n}^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)$£

Allora il polinomio diventa: £$p_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f"(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$£

Questo polinomio viene chiamato polinomio di Taylor della funzione £$f$£ in £$x_0$£.
Scritto usando la notazione di sommatoria diventa £$p_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$£

Vediamo che, sostituendo £$x_0=0$£, otteniamo il polinomio di MacLaurin. Quindi il polinomio di Taylor è una generalizzazione del polinomio di MacLaurin.

ESEMPIO: scriviamo il polinomio di Taylor di grado £$5$£ della funzione £$f(x)=e^{2x}$£ centrato in £$x_0=1$£. Sappiamo che la funzione £$f(x)=e^{2x}$£ è derivabile infinite volte e abbiamo £$f'(x)=2e^{2x}$£, £$f"(x)=4e^{2x}$£, … , £$f^{(k)}(x)=2^{k}e^{2x}$£. I coefficienti del polinomio di Taylor cercato sono quindi del tipo £$\frac{f^{(k)}(1)}{k!}=\frac{2^{k}e^2}{k!}$£ con £$k$£ che va da £$ a [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]5$£ (perché noi vogliamo il polinomio di quinto grado). Ricordiamo che "l’esponente" £$k$£ indica la derivata £$k$£-esima della funzione. Quindi per £$k=0$£ abbiamo proprio la funzione di partenza (e non la derivata zereesima!).

Ora possiamo scrivere il polinomio di Taylor cercato:

£$p_5(x)=f(1)+\frac{f'(1)}{1!}(x-1)+\frac{f"(1)}{2!}(x-1)^2+\ldots +\frac{f^{(5)}(1)}{5!}(x-1)^5=$£ £$e^2+2e^2(x-1)+4e^2(x-1)^2+8e^2(x-1)^3+16e^2(x-1)^4+32e^2(x-1)^5$£

Formula di Taylor con il resto di Peano

Abbiamo visto che, data una funzione £$f$£ derivabile £$n$£ volte in un punto £$x_0$£, possiamo costruire il polinomio di Taylor (che esiste ed è unico!) di grado £$n$£ tale che le derivate della funzione e del polinomio calcolate nel punto £$x_0$£ coincidono per ogni £$n$£.

In pratica, il polinomio di Taylor in £$x_0$£ approssima la funzione vicino al punto. Tanto più il grado del polinomio è grande, tanto più l’approssimazione è migliore. Ma di quanto sbagliamo? Proviamo a vedere cosa succede alla funzione £$R_n(x)=f(x)-p_n(x)$£, che misura l’errore che commettiamo approssimando la funzione £$f$£ con il suo polinomio di Taylor di grado £$n$£. Il seguente teorema ci garantisce che l’errore, man mano che ci avviciniamo a £$x_0$£ diventa sempre più piccolo.

Formula di Taylor con resto di Peano. Se £$f$£ è derivabile £$n$£ volte in £$x_0$£, il resto £$R_n(x)$£ è un infinitesimo di ordine superiore a £$(x-x_0)^n$£, cioè

$$\lim\limits_{x\to x_0} \frac{R_{n}(x)}{(x-x_0)^n}=0$$

Quindi la funzione resto £$R_{n}(x)$£ va a zero molto più velocemente di un polinomio di grado £$n$£. Segue anche che la velocità è maggiore se man mano che il grado del polinomio cresce. Ciò significa che l’approssimazione tra la funzione e il polinomio migliora se il polinomio cresce di grado.

La formula £$\lim\limits_{x\to x_0} \frac{R_{n}(x)}{(x-x_0)^n}=0$£ ci dice che la funzione resto £$R_n(x)$£ è un o piccolo di £$(x-x_0)^n$£ per £$x\to x_0$£, quindi spesso troverai scritto il resto secondo Peano nella forma £$R_{n}(x)=o((x-x_0)^n)$£.

Usando la notazione di sommatoria, la formula di Taylor con resto di Peano ha l’espressione:

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + o((x-x_0)^n)$$

Allo stesso modo, con £$x_0=0$£, otteniamo la formula di MacLaurin:

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + o((x)^n)=f(0)+ f'(0)\,x+\frac{f"(0)}{2}x^2+\ldots+ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)$$

Formula di Taylor dal punto di vista grafico

Cosa significa graficamente approssimare una funzione vicino a un punto con un polinomio di Taylor? Vediamo che questo argomento lo avevamo già visto quando abbiamo introdotto il concetto geometrico di derivata.
Infatti, l’equazione della retta tangente al grafico della funzione £$f$£ nel punto £$x_0$£ è £$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$£. Guardando bene questa equazione vediamo che assomiglia molto al polinomio di Taylor di grado £$1$£ della funzione £$f$£ centrato nel punto £$x_0$£.

Quindi la formula di Taylor è una migliore approssimazione della funzione rispetto a quanto già facevamo con la derivata prima.

Sviluppi notevoli di MacLaurin

Applichiamo la formula di MacLaurin con resto di Peano ad alcune funzioni note:

£$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$£ £$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\ldots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$£ £$sen\,x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$£ £$cos\,x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\ldots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$£ £$(1+x)^p=1+px+\frac{p(p-1)}{2!}x^2+\frac{p(p-1)(p-2)}{3!}x^3+\ldots+\frac{p(p-1)\cdot \ldots \cdot (p-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$£

Formula di Taylor nel calcolo dei limiti

A cosa servono gli sviluppi di Taylor? Vediamo un’applicazione pratica nel calcolo dei limiti. Infatti, abbiamo detto che la formula di Taylor serve per approssimare le funzioni con polinomi, che sono molto più facili da gestire quando si calcolano i limiti.

Calcoliamo il limite £$\lim\limits_{x\to 0}\frac{sen\,x-x}{x^2sen\,x}$£. Abbiamo la forma indeterminata £$\frac{0}{0}$£. Proviamo a usare De L’Hopital:

£$\lim\limits_{x\to 0}\frac{sen\,x-x}{x^2sen\,x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{cos\,x-1}{2xsen\,x+x^2cos\,x}$£

che ci restituisce ancora la forma indeterminata £$\frac{0}{0}$£. Stesso risultato con i limiti notevoli.
Come fare? Usiamo la formula di Taylor (in questo caso di MacLaurin perché abbiamo £$x_0=0$£).

Scriviamo £$sen\,x$£ con la formula di MacLaurin al terzo ordine e resto di Peano £$sen\,x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$£ e sostituiamo nel limite:

£$\lim\limits_{x\to 0}\frac{sen\,x-x}{x^2sen\,x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)-x}{x^2(x-\frac{x^3}{6}+o(x^4))}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^4)}{x^3-\frac{x^5}{6}+o(x^6)}$£

dove abbiamo usato le proprietà degli o piccolo. Ora raccogliamo £$x^3$£ e semplifichiamo: £$\lim\limits_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{6}+\frac{o(x^4)}{x^3}}{1-\frac{x^2}{6}+\frac{o(x^6)}{x^3}}$£

ma £$\frac{o(x^4)}{x^3}=x\cdot \frac{o(x^4)}{x^4}\to 0 $£ per £$x\to 0$£ e, allo stesso modo, £$\frac{o(x^6)}{x^3}=x^3 \cdot \frac{o(x^6)}{x^6}\to 0 $£ per £$x\to 0$£.

Quindi abbiamo che tutti gli addendi con la £$x$£ vanno a £$ e il risultato del limite è [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]-\frac{1}{6}$£

Regole da seguire per calcolare i limiti con Taylor

Abbiamo visto che la formula di Taylor (o di MacLaurin) è utile quando dobbiamo calcolare dei limiti "difficili", cioè quando né i limiti notevoli né il teorema di De L’Hopital ci possono aiutare.
Ma quando ci conviene usare la formula di Taylor? A che ordine dobbiamo fermarci?

Rispondiamo alla prima domanda: usiamo la formula di Taylor quando il calcolo con i limiti notevoli non ci riesce a dare una risposta.
ESEMPIO: calcoliamo £$\lim\limits_{x\to 0}\frac{sen\,x – \ln(1+x)}{x^2}$£. Dopo aver visto che abbiamo la forma indeterminata £$\frac{0}{0}$£, proviamo a usare i limiti notevoli. Abbiamo £$\lim\limits_{x\to 0} \frac{x-x}{x^2}=0$£. Usando i limiti notevoli, il numeratore è identicamente [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/], ma questo non ci aiuta nel calcolo del limite.

Proviamo a sostituire gli sviluppi di Taylor delle due funzioni al numeratore. Abbiamo:

£$\lim\limits_{x\to 0} \frac{x-\frac{x^3}{6}+o(x^4) – x+ \frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{x^2}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{2}-\frac{x}{6}+\frac{o(x^4)}{x^2}-\frac{o(x^3)}{x^2}=\frac{1}{2}$£

perché £$\frac{o(x^4)}{x^2}=x^2\cdot \frac{o(x^4)}{x^4}\to 0 $£ e £$\frac{o(x^3)}{x^2}=x\cdot \frac{o(x^3)}{x^3}\to 0 $£. Quindi il limite vale £$\frac{1}{2}$£.

A quale ordine dobbiamo fermarci? Bella domanda! Possiamo fermare tutti gli sviluppi al secondo ordine di sviluppo non nullo. L’importante è che quella parte di polinomio non viene cancellata dalle operazioni di somma (o differenza).
Ad esempio, nell’esempio visto prima, non era necessario sviluppare il logaritmo fino al terzo ordine. Infatti già il termine di secondo grado non veniva cancellato al numeratore e il risultato alla fine sarebbe stato lo stesso.
Ovviamente, nulla ci vieta di sviluppare i polinomi fino al 42-esimo grado, tutto sta a quanto tempo (e voglia) abbiamo per calcolare il limite!