Derivabilità e continuità di una funzione: definizione

In matematica, una parte importante dello studio di funzione è saper analizzare la derivata di una funzione in tutte le sue caratteristiche. Se hai imparato a calcolare la derivata come limite del rapporto incrementale, puoi legare la definizione di limite a quella di derivabilità.

Scopri quando una funzione è derivabile e perché la derivabilità implica la continuità, ma una funzione continua non è sempre derivabile. Dove la funzione non è derivabile c’è un punto di non derivabilità. I punti di non derivabilità, a seconda dei casi, si chiamano cuspidi, punti angolosi e punti a tangente verticale.

Infine puoi iniziare ad analizzare i legami fra la funzione derivata e la funzione di partenza. Derivabilità e continuità hanno uno stretto rapporto: una funzione derivabile, è anche continua, mentre non è vero il viceversa. Questo teorema sarà molto utile nei teoremi sulle derivate. Impara le derivate con le video pillole e gli esercizi svolti!

• Funzione derivabile in un punto e in un intervallo
• Derivabilità di una funzione
• Continuità di una funzione
• La relazione tra derivabilità e continuità
• Punti di non derivabilità
• Dove cercare i punti di non derivabilità

Funzione derivabile in un punto e in un intervallo

Una funzione è derivabile se arrivando in un certo punto da destra o da sinistra si trova la stessa retta tangente. Hai già visto che il coefficiente angolare di una retta è rappresentato dalla derivata della funzione in un punto: i limiti da destra e da sinistra del rapporto incrementale in un certo punto devono quindi coincidere per avere un’unica retta tangente.

Quindi, una funzione £$f$£ è derivabile in un suo punto di ascissa £$x=c$£ quando:

• £$c$£ appartiene al dominio della funzione
• esistono finiti e sono uguali i limiti:
  £$f’_+(x)=\lim\limits_{h\to0^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$£, cioè il limite del rapporto incrementale da destra
  £$f’_-(x)=\lim\limits_{h\to0^-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$£, cioè il limite del rapporto incrementale da sinistra

Quindi, esiste un finito ed è unico £$f’(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$£

Quando i limiti sono diversi o infiniti, allora la funzione non è derivabile.

Una funzione è derivabile in un intervallo £$[a,b]$£ se è derivabile in tutti i punti interni all’intervallo e se esiste finita la derivata destra e sinistra agli estremi dell’intervallo.

Derivabilità di una funzione

Derivabile implica continua:

Dimostrazione:

Abbiamo appena visto che una funzione è derivabile in un punto £$P(c;f(c))$£ se £$P$£ appartiene al dominio della funzione e se esiste finito ed è unico £$f’(x)=\lim\limits_{h\to0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}$£, cioè se esiste la tangente al grafico della funzione in £$P$£, è unica e non verticale.

Continuità di una funzione

Funzione continua ma non derivabile:

Riprendiamo anche la definizione di continuità. Una funzione è continua in un punto £$P(c,f(c))$£ se esiste £$\lim\limits{x \to c} f(x)=f(c)$£.

Una funzione si dice continua, o continua in tutto il suo dominio se queste definizioni sono vere per qualsiasi £$c$£ del dominio della funzione.

La relazione tra derivabilità e continuità

La derivabilità implica la continuità. Questa è una condizione necessaria ma non sufficiente, significa che tutte le funzioni derivabili sono anche continue, ma non è vero il viceversa. Infatti, continuità non implica derivabilità, cioè una funzione può essere derivabile ma non continua.

Per dimostrarlo basta far vedere che esiste almeno una funzione continua ma non derivabile, e questa è la funzione £$f(x)=|x|$£, che è continua su tutto il suo dominio £$\mathbb{R}$£, ma in £$x=0$£ ha un punto di non derivabilità.

Punti di non derivabilità

Punti angolosi

Punti di cuspide

Punti di flesso

Sappiamo che un punto di non derivabilità è un punto della funzione in cui la derivata non esiste. I punti di non derivabilità, quindi, sono quelli in cui la derivata destra e sinistra della funzione nel punto sono diverse fra loro, o uguali ma che tendono a infinito.
Nei punti di non derivabilità, le tangenti al grafico possono essere due differenti oblique, una obliqua e una verticale, oppure è una retta verticale.

A seconda del valore delle derivate destra e sinistra, e quindi delle rette tangenti nel punto o in un intorno del punto, classifichiamo i punti di non derivabilità in punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale.

Un punto di non derivabilità è:

• un punto angoloso se la derivata destra e sinistra sono diverse fra loro, una è sempre un valore finito e l’altra è un valore finito o infinito.
  Quindi, se £$f’_+(x_0)=l_1 \ne l_2=f’_-(x_0)$£, oppure £$f’_+(x_0)=l_1$£ e £$f’_-(x_0)=\pm \infty$£ oppure £$f’_+(x_0)=\pm \infty$£ e £$f’_-(x_0)=l_1$£, allora £$x_0$£ è un punto angoloso
• una cuspide se ha una tangente verticale e la derivata destra e sinistra sono diverse e tendono entrambe a infinito. Quindi, se £$f’_+(x_0)=\pm \infty$£ e £$f’_-(x_0)=\mp \infty$£ allora £$x_0$£ è una cuspide;
• un flesso a tangente verticale se le derivate destra e sinistra sono uguali ma tendono a infinito. Quindi, se £$f’_+(x_0)=\pm \infty$£ e £$f’_-(x_0)=\pm \infty$£, allora £$x_0$£ è un flesso a tangente verticale.

Dove cercare i punti di non derivabilità

Dominio di £$f'(x)$£ diverso da quello di £$f(x)$£

Funzione definita a tratti

Se conosciamo una funzione e un suo punto di non derivabilità, sappiamo determinare di che tipo di punto si tratta: punto angoloso, di cuspide o a tangente verticale a seconda di quale valore assumono la derivata destra e quella sinistra.

Se conosciamo solo la funzione, dove cerchiamo e come troviamo i punti di non derivabilità?
I possibili punti di non derivabilità sono:

• i punti che appartengono al dominio della funzione, ma non appartengono al dominio della derivata;
• i punti estremi delle funzioni definite a tratti, cioè i punti in cui cambia la funzione.