Come calcolare le derivate di esponenziale e logaritmo
Il calcolo delle funzioni esponenziali e delle derivate dei logaritmi occupa una posizione di rilievo nell’analisi matematica, fungendo da pilastro per la comprensione di numerosi fenomeni naturali e principi scientifici.
In questo articolo esploreremo in dettaglio il mondo delle funzioni esponenziali, caratterizzate dalla loro variabile posta nell’esponente, e il calcolo delle derivate dei logaritmi, le funzioni inverse delle esponenziali, che svolgono un ruolo cruciale nell’analisi del tasso di variazione e nella crescita esponenziale.
Le funzioni esponenziali, con la loro capacità di modellare processi di crescita e decadimento in contesti come la biologia, la finanza e la fisica, offrono uno spaccato unico sulla natura esponenziale di molti sistemi. D’altra parte, i logaritmi, introducendo la nozione di crescita proporzionale, permettono di svolgere calcoli complessi e di risolvere equazioni esponenziali in maniera più gestibile.
Scopri, grazie ai nostri video e appunti, come calcolare la derivata delle funzioni esponenziale e logaritmo.
Ripassa la derivata
La derivata di una funzione è un concetto fondamentale nel calcolo differenziale che misura come il valore di una funzione cambia al variare dell’input. In termini più intuitivi, la derivata fornisce il tasso di variazione istantaneo di una funzione in un dato punto, o, in altre parole, la pendenza della tangente alla curva della funzione in quel punto.
La derivata ha molteplici applicazioni pratiche e teoriche, come determinare i punti di massimo e minimo di una funzione, studiare il suo comportamento asintotico, e risolvere problemi di ottimizzazione.
Funzione esponenziale
Regola generale
Dimostrazione
La funzione esponenziale è un elevamento a potenza in cui la base è un numero positivo e l’esponente dipende dalla variabile £$ x $£. Quindi, se la base è £$ a>0 $£, allora la derivata prima della funzione esponenziale £$ f(x)=a^x $£ è £$ f'(x)=a^x \ln(a) $£
Se la base è il numero di Nepero £$ e $£, allora la funzione esponenziale ha derivata uguale a sè stessa: £$ f(x)=e^x \rightarrow f'(x)=e^x $£
Per la dimostrazione della regola di derivazione della funzione esponenziale usiamo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e il limite notevole dell’esponenziale in base £$e$£. È per questo che compare £$ f(x)=\ln (a) $£ nella formula.
Derivata del logaritmo
Regola generale
Dimostrazione
La funzione logaritmica: £$ f(x)=log_a (x) $£ è un logaritmo in base £$a$£ in cui l’argomento dipende da £$x$£.
La derivata di una funzione logaritmica in base £$ a $£ qualsiasi è £$ f'(x)=\frac{1}{x}log_a (e) $£.
Se la base è il numero di Nepero £$ e $£, allora la derivata del logaritmo naturale è l’inverso dell’argomento: £$ f(x)=\ln (x) \rightarrow f'(x)=\frac{1}{x} $£
Per la dimostrazione della regola di derivazione della funzione logaritmica dobbiamo ricordare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e il limite notevole del logaritmo naturale. È per questo che compare £$ f(x)=log_a (e) $£ nella formula.
Trovi gli esercizi su questi argomenti in questa lezione.