Come si calcolano i massimi e i minimi di una funzione
In questo articolo, ci immergeremo nell’analisi di come calcolare i massimi e i minimi di una funzione, oltre a identificare i punti di flesso. Questi concetti sono fondamentali nel campo del calcolo differenziale e hanno importanti applicazioni pratiche in diverse aree come l’economia, l’ingegneria e le scienze naturali.
Inizieremo esaminando i concetti di massimo e minimo locale di una funzione. Questi punti rappresentano rispettivamente i valori più alti e più bassi che una funzione assume in un determinato intervallo. Spiegheremo come l’utilizzo della prima derivata di una funzione ci permetta di identificare questi punti critici, attraverso il test del primo derivato o il test del secondo derivato.
Successivamente, esploreremo i punti di flesso, che sono punti dove la curvatura di una funzione cambia direzione. Qui, discuteremo come la seconda derivata di una funzione sia cruciale per determinare questi punti e per capire la concavità della funzione.
Vediamoli insieme!
Massimi e minimi assoluti e relativi di una funzione
Ti sei mai chiesto quale sia la differenza tra massimi assoluti e massimi relativi di una funzione?
Il massimo è il valore più grande che una funzione assume in un intervallo. Se questo intervallo è tutto il dominio , il massimo è assoluto, se è un sottoinsieme del dominio, allora il massimo è relativo. Il minimo è il valore più piccolo che una funzione assume in un intervallo. Come per il massimo, il minimo sarà assoluto se l’intervallo è tutto il dominio della funzione, relativo se è un sottoinsieme del dominio.
In formule, questo significa che:
- £$ x_0$£ è un massimo assoluto se £$f(x_0) \ge f(x) \ \forall x \in D_f $£
- £$ x_0$£ è un minimo assoluto se £$f(x_0) \le f(x) \ \forall x \in D_f $£
- £$ x_0$£ è un massimo relativo se £$f(x_0) \ge f(x) \ \forall x \in I(x_0) $£
- £$ x_0$£ è un minimo relativo se £$f(x_0) \le f(x) \ \forall x \in I(x_0) $£.
Come trovare massimi e minimi relativi di una funzione
Per la ricerca dei massimi e minimi relativi di una funzione £$f$£ devi:
- calcolare la derivata prima della funzione £$f'(x)$£;
- studiare la monotonia della funzione, cioè trovare il segno della derivata prima £$f'(x) \ge 0$£:
- i punti in cui si annulla la derivata £$f'(x)=0$£ sono i punti stazionari, cioè i candidati ad essere punti di massimo o minimo
- in un punto stazionario:
- se il segno della derivata passa da maggiore a minore allora il punto è un massimo relativo;
- se il segno della derivata passa da minore a maggiore allora è un minimo relativo.
Ma siamo sicuri che possiamo fare così? Certo, grazie ai teoremi sulle funzioni derivabili. Lo studio della monotonia, cioè del segno della derivata, è una condizione sufficiente perché ci sia un massimo ed un minimo, ed è una conseguenza del teorema di Lagrange. Condizione sufficiente significa che se la derivata prima è positiva e poi negativa allora la funzione ammette un massimo o un minimo. Abbiamo la condizione necessaria dal teorema di Fermat: se una funzione è definita in £$[a,b]$£ e derivabile almeno in £$ (a,b)$£ ammette massimo (o minimo) relativo nel punto £$ x_0$£, allora £$ f’(x_0)=0 $£. Questo teorema esprime una condizione necessaria, ma non sufficiente. Questo significa che, se la funzione ammette massimo o minimo relativo in £$ x_0 $£, allora sicuramente £$ f’(x_0)=0 $£. Ma non è detto che se £$ f’(x_0)=0 $£ sicuramente la funzione ammette un massimo o un minimo relativo in £$ x_0 $£.
Flessi di una funzione e derivata seconda
Cos’è la concavità
Flesso a tangente obliqua
Flesso a tangente orizzontale
Un punto di flesso di una funzione è quel punto in cui cambia la concavità. Per la ricerca dei flessi a tangente obliqua di una funzione devi:
- calcolare la derivata seconda della funzione £$f"(x)$£;
- studiare la concavità della funzione, cioè studiare il segno della derivata seconda £$ f"(x) \ge 0 $£:
- i punti in cui si annulla la derivata seconda £$f"(x)=0$£ sono i candidati ad essere punti di flesso a tangente orizzontale;
- se la derivata seconda cambia di segno in un intorno di questi punti, allora sono dei punti di flesso a tangente orizzontale.
C’è un’analogia tra i teoremi usati per la ricerca dei massimi e minimi relativi e quelli usati per la ricerca dei flessi. Infatti la condizione necessaria dice che la funzione deve essere definita e derivabile due volte, e se ha un punto di flesso, allora la derivata seconda si annulla in quel punto. La condizione sufficiente invece ci dice che se la derivata seconda passa da positiva a negativa (o viceversa) in un intorno del punto, allora quello è un punto di flesso.
Siccome la derivata è a sua volta una funzione, osserviamo che i flessi sono i massimi e minimi relativi della funzione derivata prima. I flessi a tangente orizzontale sono particolari flessi a tangente obliqua, possiamo quindi trovarli studiando la derivata seconda, oppure studiando la derivata prima. Sono infatti quei punti stazionari in cui la derivata prima non cambia di segno. I flessi a tangente verticale invece sono quelli in cui le derivate destra e sinistra nel punto tendono a infinito dello stesso segno.
Come passare dal grafico della funzione a quelli delle derivate
Grafico funzione e derivata prima
Grafico funzione e derivata seconda
Cosa ci dice il grafico di una funzione £$f$£ se lo confrontiamo con il grafico delle sue derivate prima e seconda? Studiamo i grafici di una funzione, della sua derivata prima e della derivata seconda e osserviamo che:
- i punti di massimo o minimo della funzione £$ f $£ sono zeri della sua derivata £$ f’ $£
- i punti di flesso della funzione £$ f $£ sono i massimi e minimi della funzione derivata £$ f’ $£ e zeri di f’’
- dove la funzione £$ f $£ cresce, la sua derivata è positiva. Viceversa, dove £$ f $£ decresce, £$ f’ $£ è negativa.
- dove £$ f $£ ha la concavità verso l’alto, £$ f’ $£ cresce, mentre dove £$f$£ ha la concavità verso il basso £$f’$£ decresce.
Fare questo confronto non è semplice, ma è utile per fare uno studio di funzione più consapevole ed evitare gli errori!