Le derivate: problemi di massimo e minimo
Nello studio della matematica, in particolare nel calcolo differenziale, i problemi di massimo e minimo rivestono un’importanza cruciale. Questi problemi si concentrano sulla ricerca dei valori massimi e minimi di una funzione, ovvero quei punti in cui la funzione raggiunge il suo valore più alto o più basso.
La soluzione di questi problemi spesso passa attraverso l’uso delle derivate, strumenti matematici che misurano come una funzione cambia al variare del suo input. Quando la derivata di una funzione si annulla, questo indica che la funzione potrebbe avere un punto di massimo o di minimo in quel punto. Questi punti vengono chiamati "punti critici" e sono essenziali per determinare dove la funzione raggiunge i suoi valori estremi.
Per analizzare i problemi di massimo e minimo, è necessario prima derivare la funzione e poi trovare i punti in cui la sua derivata è zero o non esiste. Successivamente, si esegue un’ulteriore analisi, come il test della derivata seconda, per determinare se questi punti critici sono effettivamente punti di massimo, di minimo, o nessuno dei due (punti di flesso).
Vediamo insieme come fare!
- Cosa sono i problemi di massimo e minimo
- Come impostare i problemi di massimo e minimo
- Come risolvere i problemi di massimo e minimo
- Esercizio svolto sui problemi di massimo e minimo
Cosa sono i problemi di massimo e minimo
Risolvere i problemi di massimo e minimo significa cercare i massimi e minimi assoluti o relativi di una funzione in un intervallo. Possono essere legati alla geometria euclidea, alla geometria solida, analitica, alla trigonometria… In tutti ti verrà chiesto di calcolare un valore che "massimizza" (o "minimizza"), ossia che rende massima (o rende minima) una funzione. I problemi di massimo e minimo sono anche detti problemi di ottimizzazione, perché ci permettono di trovare il valore «ottimale» per risolvere alcune situazioni, descritte dal problema. I problemi di massimo e minimo possono essere difficili da risolvere perché:
- Non sempre tutti i dati del problema sono chiari ed espliciti;
- Nello stesso esercizio può capitare di dover applicare teoremi e formule di argomenti diversi;
- Ci sono diversi modi per risolvere uno stesso problema, che portano a calcoli più o meno facili;
- Bisogna scegliere "chi è £$x$£", ossia scegliere opportunamente la variabile indipendente della funzione da analizzare.
Nei video delle lezioni troverai degli esempi svolti su come impostare e come risolvere un problema di massimo e minimo. Se vuoi allenarti, vai a fare gli esercizi!
Come impostare i problemi di massimo e minimo
I problemi di massimo e minimo, abbiamo visto, sono quelli in cui si cercano i valori che rendono massima o minima una funzione. Come facciamo a svolgere un problema di massimo e minimo? Dobbiamo impostare il problema e poi risolverlo. La parte più difficile è impostare il problema di massimo e minimo, cioè capire e poi costruire la migliore strategia per la risoluzione. Migliore significa più veloce e con meno calcoli possibili.
Vediamo una scaletta con i passaggi da seguire per impostare un problema di massimo e minimo:
- Fai un disegno che rappresenti il testo del problema;
- Leggi e rileggi bene il testo;
- Scrivi tutte le formule che potrebbero servirti;
- Scegli chi è £$x$£, ossia scegli la variabile indipendente della tua funzione (trova quella che ti sembra la migliore possibile con l’obiettivo di fare meno calcoli);
- Trova le limitazioni, ossia l’insieme dei possibili valori che può assumere la £$x$£.
Come risolvere i problemi di massimo e minimo
Abbiamo visto che per svolgere un problema di massimo e minimo devi prima impostare la strategia risolutiva e poi risolvere facendo i calcoli e discutendo le soluzioni. Per impostare i problemi di massimo e minimo puoi seguire la scaletta della lezione "come impostare i problemi di massimo e minimo", ora vediamo come risolverli!
I passaggi da seguire per risolvere il problema sono pochi:
- Trova i massimi e i minimi assoluti della funzione nell’intervallo delle limitazioni;
- Trova la soluzione finale del problema.
Per imparare a svolgere al meglio i problemi di massimo e minimo guarda l’esercizio svolto e poi allenati con i tre livelli di esercizi!
Esercizio svolto sui problemi di massimo e minimo
Impostare il problema
Risolvere il problema
Gli esercizi di matematica in cui applichi la ricerca dei massimi e minimi relativi o assoluti sono i problemi di massimo e minimo. Per svolgere un problema di massimo e minimo devi:
- impostarlo, cioè devi trovare la strategia risolutiva scegliendo la variabile migliore e trovando la funzione da analizzare;
- risolverlo, facendo tutti i calcoli per trovare i mass o i minimi e quindi la soluzione finale.
In questo video abbiamo svolto un problema facendo vedere prima come si imposta e poi come si risolve. È un problema di geometria legato al calcolo dell’area di un foglio di carta. Il testo del problema svolto è:
Un foglio di carta deve contenere un’area di stampa di £$ 50 \ cm^2 $£, i margini superiore e inferiore di £$ 4$£cm e i amrgini laterali di £$ 2$£cm. Quali sono le dimensioni minime del foglio di carta che possiamo utilizzare?
Quale funzione bisogna studiare? Dove mettere la £$x$£?