Il teorema di Lagrange: enunciato e dimostrazione

In matematica hai incontrato tanti teoremi, uno dei più famosi è quello di Pitagora. Questi teoremi erano molto importanti per svolgere gli esercizi e per dimostrare altri teoremi. In analisi matematica funziona allo stesso modo! I teoremi importanti sono tanti ed hanno diverse applicazioni. In questa lezione impariamo i teoremi sulle funzioni derivabili, cioè quelli che descrivono alcune caratteristiche delle funzioni derivabili.

In particolare, il teorema di Lagrange ha un’importante interpretazione geometrica. Le conseguenze del teorema di Lagrange hanno alcune applicazioni nello studio dei massimi e minimi relativi di una funzione.

Per aiutarti a capire e memorizzare i teoremi sulle funzioni derivabili, guarda i video e gli esercizi svolti sulle applicazioni dirette. Inoltre nei livelli di esercizi trovi tanti altri problemi sullo stile dei quesiti e dei problemi della maturità!

• Teorema di Lagrange
• Conseguenza del teorema di Lagrange: funzioni con derivata nulla
• Conseguenza del teorema di Lagrange: funzioni con la stessa derivata
• Corollario del Teorema di Lagrange: segno della derivata e funzioni crescenti o decrescenti

Teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange

Esercizio svolto:

Dimostrazione:

Il teorema di Lagrange è il più importante tra i teoremi sulle funzioni derivabili. Come per il teorema di Rolle, ha un’importante interpretazione geometrica.

Partiamo dall’ enunciato del Teorema di Lagrange:

Data una funzione f che sia:

1. continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b]
2. derivabile almeno nell’intervallo aperto (a,b),

allora (tesi) esiste almeno un punto £$ c\in (a,b) $£ tale che £$ f’(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $£

Il teorema di Lagrange ha un’importante interpretazione geometrica. Il coefficiente angolare della retta passante per due punti del piano è £$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$£. Se questi due punti appartengono ad una funzione £$y=f(x)$£, allora £$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$£.

Inoltre sappiamo che la derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente la curva in quel punto. Quindi £$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$£ con £$c \in (a,b)$£

Se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Lagrange la derivata £$f’(c)$£ è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva e parallela alla retta passante per £$A$£ e £$B$£. Tra le applicazioni del teorema di Lagrange ci sono i tre corollari, queste conseguenze del teorema di Lagrange parlano delle funzioni costanti, uguali a meno di una costante, crescenti o decrescenti a partire dal valore e dal segno delle loro derivate.

Conseguenza del teorema di Lagrange: funzioni con derivata nulla

Funzioni con derivata nulla

Esercizio svolto:

Dimostrazione:

Le conseguenze del teorema di Lagrange sono dei corollari, cioè dei teoremi che derivano direttamente dal teorema di Lagrange. Sono teoremi sulle funzioni derivabili e sono molto utili per lo studio dei massimi e minimi di una funzione e degli integrali.

La prima conseguenza del teorema di Lagrange è quella sulle funzioni con derivata nulla. Vediamo l’enunciato.

Data una funzione f, se:

1. continua in [a,b]
2. derivabile almeno in (a,b)
3. tale che £$ f’(x)=0 $£ £$ \forall x \in (a,b) $£,

allora f è costante £$ \forall x \in [a,b]$£

Possiamo vedere questo teorema come la condizione sufficiente della regola di derivazione di una costante. Se una funzione è costante sappiamo che la sua derivata è nulla, questo teorema ci dice che ogni volta che la derivata di una funzione continua e derivabile è nulla in tutto un intervallo, allora la funzione è costante.

Conseguenza del teorema di Lagrange: funzioni con la stessa derivata

Corollario

Esercizio svolto:

Dimostrazione:

Tra i corollari del teorema di Lagrange, cioè tra quei teoremi che derivano direttamente da quello di Lagrange, c’è quello che parla delle funzioni con la stessa derivata. Questa conseguenza del teorema di Lagrange ha importanti applicazioni nel calcolo degli integrali.

L’enunciato dice che, date due funzioni f e g, se sono verificate le tre ipotesi:

1. f e g sono continue in [a,b]
2. f e g sono derivabili almeno in (a,b)
3. f e g sono tali che £$ f’(x)=g’(x) $£ £$ \forall x \in (a,b) $£,

allora vale la tesi, cioè £$ f(x) =g(x)+c$£, [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] c in R.

Quindi se due funzioni continue e derivabili in un intervallo hanno la sessa derivata in quell’intervallo, allora sono la stessa funzione a meno di una costante, cioè sono la stessa funzione, ma traslata in verticale!

Questo corollario del teorema di Lagrange ha un’importante interpretazione geometrica: se due funzioni hanno la stessa derivata in un intervallo (a,b), allora hanno tangenti parallele in ogni punto dell’intervallo.

Corollario del Teorema di Lagrange: segno della derivata e funzioni crescenti o decrescenti

Corollario

Esercizio svolto:

Dimostrazione:

Il teorema di Lagrange ha un ruolo importante nella ricerca dei massimi e minimi di una funzione. Un punto di massimo e minimo è un punto in cui la funzione passa da crescente a decrescente. A partire dalla derivata come facciamo a capire se la funzione è crescente o decrescente? Ce lo dice una della conseguenze del teorema di Lagrange.

L’enunciato di questo corallario dice che, data una funzione f definita in un intervallo [a,b], e dato un sottointervallo £$ I \in [a,b] $£ se:

1. £$ f(x)$£ è continua nell’intervallo £$ I$£;
2. £$ f(x) $£ è derivabile almeno nei punti interni all’intervallo £$ I $£
3. £$ f’(x) > 0 \ \forall x \in I $£, oppure £$f'(x) < 0 \ \forall x \in I$£.

Allora la funzione è, rispettivamente, crescente o ecrescente nell’intervallo I.

Questo corollario esprime la relazione fra il segno della derivata prima di una funzione e il suo andamento. Perciò se la derivata prima, e quindi il coefficiente angolare della retta tangente in un punto è positivo, la funzione è crescente in quel punto, altrimenti è decrescente. E se si annulla? Questo è il secondo corollario, se la derivata è nulla in un punto, allora la funzione è costante, cioè è stazionaria, non cresce né decresce.