Goniometria: come misurare gli angoli in gradi e radianti
Introdurre la goniometria e i metodi per misurare gli angoli in gradi e radianti è fondamentale per comprendere la trigonometria e l’analisi matematica.
La goniometria è il ramo della matematica che studia gli angoli e le loro relazioni con le lunghezze dei lati di figure geometriche come triangoli e cerchi. Misurare gli angoli è essenziale per risolvere problemi in vari contesti, dalla geometria al calcolo delle coordinate in spazi tridimensionali.
In questo articolo, esploreremo i concetti di goniometria e i metodi per misurare gli angoli sia in gradi che in radianti, fornendo una base solida per l’apprendimento della trigonometria.
In questa lezione imparerai:
- Angoli e goniometria: cosa è un angolo, cosa è un angolo giro e un angolo retto, cosa è un angolo acuto o ottuso
- Misura in gradi: come misurare un angolo in gradi
- Misura in radianti: cosa sono i radianti, come misurare un angolo in radianti, come passare da gradi a radianti e viceversa
- Angoli orientati: quando un angolo è positivo e quando un angolo è negativo.
- Angoli: definizioni
- Angoli: misurazione degli angoli in gradi
- Angoli: misurazione degli angoli in radianti
- Angoli orientati: definizione
- Esercizi e un po' di storia sugli angoli
Angoli: definizioni
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Un angolo è la parte di piano compresa tra due semirette (lati), aventi la stessa origine (vertice).
Quando le due semirette coincidono, l’angolo è:
- nullo: se non è formato da alcun punto del piano
- giro: se è formato da tutti i punti del piano.
Quando le semirette sono:
- adiacenti: l’angolo è piatto
- perpendicolari: l’angolo è retto.
Un angolo:
- acuto è < di un angolo retto
- ottuso è > di un angolo retto ma < di un angolo piatto.
Angoli: misurazione degli angoli in gradi
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Per misurare un angolo, cioè calcolare la sua ampiezza, possiamo usare diverse unità di misura.
La misura più conosciuta è il grado sessagesimale, cioè la 360-esima parte dell’angolo giro. Suddividendo un angolo giro in 360 parti uguali, ognuna di queste misura esattamente 1 grado, e lo indichiamo con il simbolo 1°.
In gradi, gli angoli misurano:
- angolo nullo 0° (zero gradi)
- angolo giro 360° (360 gradi)
- angolo piatto 180° (180 gradi)
- angolo retto 90° (90 gradi).
Oltre al grado, esistono i suoi sottomultipli: i primi ed i secondi.
- 1 grado è diviso in 60 primi (‘)
- 1 primo è diviso in 60 secondi (‘‘).
Quando misuriamo gli angoli con i gradi, utilizziamo un sistema di numerazione in base 60 (cioè un sistema di 60 cifre), proprio come per l’orologio con i minuti e i secondi!
Quindi per sommare le misure degli angoli, dobbiamo fare attenzione:
- dobbiamo partire dai secondi, poi i primi, infine i gradi
- il valore massimo dei primi e dei secondi è 59. Dopo dobbiamo fare il riporto!
Angoli: misurazione degli angoli in radianti
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Un’altra unità di misura usata per gli angoli è il radiante.
Il radiante ci permette di trasformare l’ampiezza degli angoli dalla base 60 alla base 10.
Immaginiamo che l’angolo £$\alpha $£ che vogliamo misurare sia l’angolo al centro di una circonferenza. Quindi individua un arco di circonferenza di lunghezza £$l$£.
La misura in radianti di un angolo £$\alpha$£ è il rapporto tra l’arco di circonferenza £$ l $£ corrispondente all’angolo e il raggio £$r$£ della circonferenza:
£$ \alpha=\frac{misura \ dell’arco}{raggio}=\frac{l}{r}$£.
Come passare da gradi a radianti? Basta fare una proporzione:
£$\alpha ^°: 360^°=\alpha_{rad}:2\pi$£Quindi: £$\alpha_{rad}=\frac{\alpha^°}{180^°}\pi$£ e £$\alpha^°=\frac{180^°\alpha_{rad}}{\pi}$£
Angoli orientati: definizione
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L’angolo orientato è un angolo che è misurato tenendo conto della rotazione.
Se teniamo fisso uno dei lati e ruotiamo l’altro lato attorno al vertice, allora diciamo che l’angolo è:
- positivo se il verso di rotazione è antiorario
- negativo se il verso di rotazione è orario.
Esercizi e un po’ di storia sugli angoli
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Conosci la storia della misurazione degli angoli? Chi furono i primi a usare il sistema sessagesimale per la misura degli angoli? E perché? Qui puoi scoprire tutto (o quasi) sulla storia della misurazione degli angoli.
Puoi anche allenarti con alcuni esercizi per prepararti all’interrogazione!