Come fare uno studio di funzione con limiti e derivate

Lo studio di funzione è l’obiettivo di ogni studente arrivato all’ultimo anno delle superiori. Unisce molti concetti e argomenti studiati in passato. Qui imparerai a completare uno studio di una funzione, con il calcolo dei limiti e delle derivate.

Ci sono due metodi per fare lo studio di una funzione. Il primo consiste nel seguire tutti i passaggi uno per uno. Ma quali sono?

1. dominio
2. (eventuali) simmetrie
3. intersezioni con gli assi
4. segno della funzione

Questi sono i passaggi da fare per iniziare a fare uno studio di funzione. In questa lezione scoprirai come proseguire nello studio di funzione, con:

1. limiti
2. calcolo della derivata prima, monotonia, massimi e minimi
3. calcolo della derivata seconda, concavità, flessi
4. grafico

Ovviamente è sempre meglio aggiornare il grafico probabile ogni volta che si trovano nuove informazioni sulla funzione. In questo modo è sempre possibile accorgersi di un eventuale errore nel caso le informazioni risultino contraddittorie.

Il secondo metodo è sì più veloce, ma richiede molta attenzione e una buona conoscenza delle funzioni studiate fino a ora. In pratica si basa sul concetto di composizione di funzioni: si parte dalla funzione più "interna" per poi applicare tutte le trasformazioni dovute alla composizione di funzioni. È importante ricordare le proprietà delle funzioni che applichiamo (dominio, limiti…). È sicuramente un metodo molto veloce, ma rischioso per quelli che non ricordano (o hanno capito in parte) le funzioni studiate finora.

• Calcolare i limiti di una funzione
• Derivata prima: studio dei massimi e dei minimi
• Derivata seconda, concavità e flessi

Calcolare i limiti di una funzione

Il calcolo dei limiti di una funzione è importante per capirne il comportamento all’infinito e vicino ai punti critici del dominio, dove ci sono delle discontinuità della funzione.

Per capire quali limiti calcolare, è necessario guardare il dominio della funzione. Infatti basta calcolare i limiti nei punti che sono estremi del dominio.

Esempio: se il dominio della funzione è l’insieme £$\mathbb{R}=(-\infty, +\infty) $£ allora ci basta calcolare £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x)$£.
Se invece il dominio della funzione dovesse essere £$(-\infty, 1)\cup (1,+\infty)$£ allora, oltre a calcolare i limiti a £$\pm \infty$£, dobbiamo calcolare £$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)$£ e £$\lim\limits_{x \to 1^{+}}f(x)$£ per capire come si comporta la funzione vicino al punto in cui si spezza il dominio, per capire di che tipo di punto di discontinuità si tratta.

Nel caso £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x) = \infty$£ la funzione potrebbe avere un asintoto obliquo. Per calcolarlo dobbiamo:

1. calcolare £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=m$£: se questo limite è finito (e diverso da zero) allora questo è uguale al coefficiente angolare dell’asintoto obliquo. Altrimenti la funzione non ha asintoto obliquo;

2. se il limite precedente è finito (e diverso da zero) dobbiamo calcolare £$\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x)-mx=q$£ cioè troviamo il termine noto del nostro asintoto obliquo.

Derivata prima: studio dei massimi e dei minimi

Lo studio della derivata prima della funzione ci permette di:

• trovare gli intervalli di monotonia della funzione: dove cresce e dove decresce studiando il segno della derivata prima;
• calcolare i punti di massimo, di minimo e i flessi a tangente orizzontale: dove la derivata, la funzione può avere un massimo (se a sinistra la derivata è positiva e a destra negativa), un minimo (se a sinistra la derivata è negativa e a destra è positiva) oppure un flesso a tangente orizzontale (se la derivata non cambia segno in corrispondenza del punto in cui la derivata si annulla);
• trovare eventuali punti di non derivabilità, calcolando i limiti della derivata vicino agli estremi del dominio della derivata.

Derivata seconda, concavità e flessi

Lo studio della derivata seconda della funzione ci permette di:

• trovare gli intervalli in cui la funzione è concava verso l’alto (quando la derivata seconda è positiva) oppure concava verso il basso (quando la derivata seconda è negativa). Per farlo basta studiare il segno della derivata seconda;
• calcolare i punti di flesso a tangente obliqua che sono i punti in cui la funzione cambia la concavità e la derivata prima ha un valore finito. I punti di flesso a tangente obliqua sono quelli che annullano la derivata seconda.