Come fare lo studio di una funzione razionale fratta

Come è fatto il grafico delle funzioni razionali fratte?

Le funzioni razionali fratte sono quelle che hanno sia al numeratore che al denominatore un polinomio. Ricorda sempre di trovare il dominio, cioè quando il denominatore è diverso da zero. E poi? Tranquillo in questa lezione trovi tutto quello che c’è da sapere per fare uno studio completo di una funzione razionale fratta.

In questa lezione trovi un esempio di studio di una funzione razionale fratta.
Se ricordi un po’ di geometria analitica, in particolare le iperboli, alcune funzioni razionali fratte possono essere viste come iperboli traslate e ruotate (funzione omografica). Quindi sai già che grafico aspettarti. Questo ovviamente facilita lo studio della funzione.

In ogni caso, puoi sempre seguire i passaggi standard dello studio di funzione, dal dominio fino allo studio della derivata seconda.

• Studio di funzione razionale fratta (livello normale)
• Studio di funzione razionale fratta (livello difficile)

Studio di funzione razionale fratta (livello normale)

Dominio e simmetrie

Intersezioni con gli assi

Segno della funzione

Iniziamo lo studio della funzione £$f(x)=\frac{x-1}{x-3}$£. Il primo passo è ricavare il dominio della funzione (cioè l’insieme delle £$x$£ che hanno immagine) ed eventuali simmetrie.

Poi passiamo alla ricerca delle intersezioni con gli assi, che ci servono per iniziare a capire per dove passa il grafico della funzione.
Dopo le intersezioni con gli assi, studiamo il segno della funzione. Significa andare alla ricerca degli intervalli di positività e negatività della funzione.

Ricorda di aggiornare il grafico probabile dopo ogni passaggio. In questo modo puoi accorgerti se stai facendo qualche errore di calcolo. Infatti, tutte le informazioni devono essere coerenti e non portare a una contraddizione!

Calcolo dei limiti

Dopo aver trovato il dominio, le intersezioni con gli assi e il segno della funzione, passiamo al calcolo dei limiti.

Come capire quali limiti calcolare? È molto semplice: scriviamo il dominio come intervallo o unione di intervalli. Poi calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.
Ad esempio, il dominio della funzione £$f(x)=\frac{x-1}{x-3}$£ è £$D=(-\infty,3)\cup (3,+\infty)$£ quindi dovremo calcolare il limiti a £$\pm \infty$£ e anche per £$x$£ che tende a £$3$£ da destra e da sinistra.

Ricorda che se a £$\pm \infty$£ il limite è infinito, potrebbe esserci un asintoto obliquo. Ricordi come calcolare l’asintoto obliquo? Se hai dei dubbi puoi ripassarlo nella lezione sul calcolo degli asintoti.

Derivata prima, massimi e minimi

Lo studio della derivata prima della funzione è fondamentale per molti aspetti:

• permette di studiare gli intervalli di monotonia della funzione, dove cioè cresce e dove decresce;
• nei punti in cui si annulla, possiamo trovare i massimi e i minimi della funzione. Ma potrebbero essere anche punti di flesso a tangente orizzontale. Diventa fondamentale lo studio del segno.
• possiamo trovare eventuali punti di non derivabilità della funzione.

Oltre a questo, ci aiuta a definire meglio il grafico probabile della funzione.

Se non ricordi come calcolare la derivata di una funzione, puoi ripassare tutto quello di cui hai bisogno nella lezione sul calcolo delle derivate.

Derivata seconda, concavità e flessi

Lo studio della derivata seconda ci aiuta a trovare gli intervalli in cui la funzione ha concavità verso l’alto e verso il basso. Nei punti in cui la funzione cambia la concavità ci possono essere dei punti di flesso, ed è importante trovarli in modo da completare e rendere più preciso il grafico della funzione.

Studio di funzione razionale fratta (livello difficile)

Dominio e simmetrie

Intersezione con gli assi

Segno della funzione

Iniziamo lo studio della funzione £$f(x)=\frac{x^3-1}{x^2-1}$£. Il primo passo è ricavare il dominio della funzione (cioè l’insieme delle £$x$£ che hanno immagine) ed eventuali simmetrie.

Poi passiamo alla ricerca delle intersezioni con gli assi, che ci servono per iniziare a capire per dove passa il grafico della funzione.
Dopo le intersezioni con gli assi, studiamo il segno della funzione. Significa andare alla ricerca degli intervalli di positività e negatività della funzione.

Ricorda di aggiornare il grafico probabile dopo ogni passaggio. In questo modo puoi accorgerti se stai facendo qualche errore di calcolo. Infatti, tutte le informazioni devono essere coerenti e non portare a una contraddizione!

Calcolo dei limiti

Dopo aver trovato il dominio, le intersezioni con gli assi e il segno della funzione, passiamo al calcolo dei limiti.

Come capire quali limiti calcolare? È molto semplice: scriviamo il dominio come intervallo o unione di intervalli. Poi calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.
Ad esempio, il dominio della funzione £$f(x)=\frac{x^3-1}{x^2-1}$£ è £$D=(-\infty,-1)\cup (-1,1) \cup (1,+\infty)$£ quindi dovremo calcolare il limiti a £$\pm \infty$£ e anche per £$x$£ che tende a £$\pm 1$£ da destra e da sinistra.

Ricorda che se a £$\pm \infty$£ il limite è infinito, potrebbe esserci un asintoto obliquo. Ricordi come calcolare l’asintoto obliquo? Se hai dei dubbi puoi ripassarlo nella lezione sul calcolo degli asintoti.

Studio della derivata prima

Lo studio della derivata prima della funzione è fondamentale per molti aspetti:

• permette di studiare gli intervalli di monotonia della funzione, dove cioè cresce e dove decresce;
• nei punti in cui si annulla, possiamo trovare i massimi e i minimi della funzione. Ma potrebbero essere anche punti di flesso a tangente orizzontale. Diventa fondamentale lo studio del segno;
• possiamo trovare eventuali punti di non derivabilità della funzione.

Oltre a questo, ci aiuta a definire meglio il grafico probabile della funzione.

Se non ricordi come calcolare la derivata di una funzione, puoi ripassare tutto quello di cui hai bisogno nella lezione sul calcolo delle derivate.

Derivata seconda, concavità e flessi

Lo studio della derivata seconda ci aiuta a trovare gli intervalli in cui la funzione ha concavità verso l’alto e verso il basso. Nei punti in cui la funzione cambia la concavità ci possono essere dei punti di flesso, ed è importante trovarli in modo da completare e rendere più preciso il grafico della funzione.