Funzioni numeriche e funzioni definite a tratti
Le funzioni numeriche e le funzioni definite a tratti rappresentano due aspetti fondamentali della matematica, essenziali per comprendere e modellare una vasta gamma di fenomeni nel mondo reale.
Le funzioni numeriche, in particolare, sono relazioni che associano numeri reali a numeri reali, permettendo di esprimere concetti matematici e fisici in termini quantitativi. Queste funzioni possono descrivere semplici relazioni lineari, variazioni esponenziali, oscillazioni periodiche e molto altro, rendendo possibile l’analisi e la previsione di comportamenti complessi in natura e nella società.
Le funzioni definite a tratti, d’altro canto, estendono la nozione di funzione numerica per includere relazioni che cambiano la loro regola di associazione in base al valore dell’input. Queste funzioni sono composte da diverse "parti", ognuna con una propria espressione matematica, che si applica in specifici intervalli del dominio della funzione.
Inizia qui il percorso di analisi matematica, in particolare sullo studio di funzione.
È sicuramente un argomento ostico per molti studenti, ma in realtà basta avere un po’ di calma. Infatti seguendo le nostre lezioni, arriverai prontissimo a fare uno studio di funzione completo senza errori!
- Cos'è una funzione
- Funzione numerica: definizione
- Funzioni definite a tratti: definizione
- Ripassa per l'interrogazione sulle funzioni
- Sfida sulle funzioni
Cos’è una funzione
Definizione di funzione: funzioni numeriche e funzioni definite a tratti - Galleria
Ma cos’è una funzione? Una funzione è una relazione che associa a OGNI elemento di un insieme £$A$£ UNO E UN SOLO elemento dell’insieme £$B$£.
Se abbiamo il diagramma a frecce della relazione, per capire se abbiamo una funzione basta guardare l’insieme £$A$£ di partenza: da ogni elemento deve partire una sola freccia.
Una funzione ha espressione £$f: A \to B $£ dove £$A$£ è l’insieme di partenza o dominio della funzione e £$B$£ è l’insieme di arrivo.
Se £$x \in A$£ e £$y \in B$£ e la £$x$£ è in relazione con £$y $£ tramite la funzione diciamo che:
- £$y$£ è l’immagine di £$x$£ tramite £$f$£;
- £$x$£ è la controimmagine £$y$£ tramite £$f$£.
Il codominio è l’insieme delle immagini tramite la funzione £$f$£ cioè tutti gli elementi che "vengono raggiunti da almeno una freccia". In generale, il codominio è un sottoinsieme dell’insieme di arrivo!
Funzione numerica: definizione
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Una funzione è numerica se l’insieme di partenza e quello di arrivo sono insiemi numerici, come £$\mathbb{N}, \, \mathbb{Z}, \, \mathbb{Q}, \, \mathbb{R}$£
L’espressione comune di una funzione numerica è £$y=f(x)$£:
- £$x$£ è la variabile indipendente;
- £$y$£ è la variabile dipendente, immagine di £$x$£ tramite la funzione £$f$£.
Per trovare il dominio della funzione è sufficiente trovare le C.E. dell’espressione della funzione. Per trovare il codominio, dobbiamo prima esplicitare la £$x$£, cioè scrivere l’espressione nella forma £$x=\ldots$£ e poi trovare le C.E. sulle £$y$£.
Funzioni definite a tratti: definizione
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Alcune funzioni cambiano espressione a seconda dei valori di £$x$£. Queste funzioni si chiamano funzioni definite a tratti.
Il classico esempio di funzione definita a tratti è la funzione valore assoluto. La sua espressione è:
£$y=|x|=\begin{cases}x \ \quad \text{se } x\ge 0 \\ -x \ \ \text{se } x < 0\end{cases}$£cioè se £$x\ge 0 $£ l’espressione è £$y=x$£ mentre se £$x < 0$£ diventa £$y = -x $£.
Ripassa per l’interrogazione sulle funzioni
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Hai appena iniziato a capire cos’è una funzione e già devi essere interrogato?
Niente paura, allenati con questi esercizi sulle funzioni!
Sfida sulle funzioni
Testo della sfida:
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Soluzione:
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Cosa c’entrano le funzioni con le app dello smartphone? Scoprilo risolvendo la prima sfida sulle funzioni!
Ricorda che puoi sempre allenarti con le lezioni e gli esercizi sulle funzioni!