Studio di una funzione polinomiale: dimostrazione
Una funzione polinomiale è del tipo £$y=ax^n+bx^{n-1}+…$£. Ricordi quali sono i passaggi da seguire per fare uno studio di funzione? Allenati e ripassa in vista della maturità!
In questa lezione vedrai lo studio completo di una funzione polinomiale. È semplice studiare questo tipo di funzioni perché il dominio è sempre tutto l’insieme R dei numeri reali.
Ma anche per i limiti e le derivate i conti sono facili. In ogni caso, ti suggeriamo di ripassare alcuni concetti:
- scomposizione in fattori (utile per trovare le intersezioni con gli assi e lo studio del segno)
- calcolo dei limiti
- derivate delle funzioni potenza
- Studio di funzione polinomiale
- Calcolo dei limiti della funzione
- Studio di derivata prima, massimi e minimi
- Studio di derivata seconda, concavità e flessi
Studio di funzione polinomiale
Dominio e simmetrie
Intersezioni con gli assi
Segno della funzione
Iniziamo lo studio della funzione £$f(x)=x^3 – 2x^2 -5x+6$£. Il primo passo è ricavare il dominio della funzione (cioè l’insieme delle £$x$£ che hanno immagine) ed eventuali simmetrie.
Poi passiamo alla ricerca delle intersezioni con gli assi, che ci servono per iniziare a capire per dove passa il grafico della funzione. Dopo le intersezioni con gli assi, studiamo il segno della funzione. Significa andare alla ricerca degli intervalli di positività e negatività della funzione.
Ricorda di aggiornare il grafico probabile dopo ogni passaggio. In questo modo puoi accorgerti se stai facendo qualche errore di calcolo. Infatti, tutte le informazioni devono essere coerenti e non portare a una contraddizione!
Calcolo dei limiti della funzione
Dopo aver trovato il dominio, le intersezioni con gli assi e il segno della funzione, passiamo al calcolo dei limiti.
Come capire quali limiti calcolare? È molto semplice: scriviamo il dominio come intervallo o unione di intervalli. Poi calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.
Ad esempio, il dominio della funzione £$f(x)=x^3 – 2x^2 -5x+6$£ è £$D=(-\infty,+\infty)$£ quindi dovremo calcolare il limiti a £$\pm \infty$£.
Ricorda che se a £$\pm \infty$£ il limite è infinito, potrebbe esserci un asintoto obliquo. Ricordi come calcolare l’asintoto obliquo? Se hai dei dubbi puoi ripassarlo nella lezione sul calcolo degli asintoti.
Studio di derivata prima, massimi e minimi
Lo studio della derivata prima della funzione è fondamentale per molti aspetti:
- permette di studiare gli intervalli di monotonia della funzione, dove cioè cresce e dove decresce;
- nei punti in cui si annulla, possiamo trovare i massimi e i minimi della funzione. Ma potrebbero essere anche punti di flesso a tangente orizzontale. Diventa fondamentale lo studio del segno;
- possiamo trovare eventuali punti di non derivabilità della funzione.
Oltre a questo, ci aiuta a definire meglio il grafico probabile della funzione. Se non ricordi come calcolare la derivata di una funzione, puoi ripassare tutto quello di cui hai bisogno nella lezione sul calcolo delle derivate.
Studio di derivata seconda, concavità e flessi
Lo studio della derivata seconda ci aiuta a trovare gli intervalli in cui la funzione ha concavità verso l’alto e verso il basso. Nei punti in cui la funzione cambia la concavità ci possono essere dei punti di flesso, ed è importante trovarli in modo da completare e rendere più preciso il grafico della funzione.