Introduzione ai poligoni: teoremi e proprietà degli angoli

Impara a riconoscere un poligono (un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa non intrecciata e tutti i punti interni). Impara ad applicare il teorema somma degli angoli interni di un triangolo e i suoi tre corollari, due proprietà sugli angoli dei poligoni convessi (somma angoli interni e esterni), i 4 criteri di congruenza dei triangoli rettangoli.

La somma degli angoli interni di un triangolo è £$ 180 ^\circ $£. Vuoi sapere come si dimostra questo teorema e anche quelli sui poligoni o sulla congruenza dei triangoli rettangoli? Ma anche, cosa è un poligono? Come si definiscono gli elementi del poligono? Come si chiama un poligono con 3, 4, 5, …, 10 lati? Qual è la differenza fra poligono inscritto e circoscritto ad una circonferenza? In questa lezione vediamo tutte queste caratteristiche di poligoni e triangoli rettangoli.

In questa video lezione imparerai:

• Definizioni fondamentali sui poligoni: quali sono gli elementi principali del poligono, come si classificano e denominano i poligoni in base ai lati ed alla circonferenza, cosa è un poligono concavo e convesso
• Teorema somma degli angoli interni di un triangolo: teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi e dimostrazione
• Proprietà degli angoli dei poligoni convessi: due proprietà sugli angoli dei poligoni convessi con dimostrazione
• Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli: enunciato dei quattro teoremi di congruenza dei triangoli rettangoli

• Come sono definiti i poligoni
• Teorema somma degli angoli interni di un triangolo
• Proprietà degli angoli dei poligoni convessi
• Quali sono i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli
• Ripassa per l'interrogazione sui poligoni
• Sfida sui poligoni

Come sono definiti i poligoni

Un poligono è un insieme di punti del piano costituito da:

• una poligonale chiusa non intrecciata;
• tutti i punti interni alla poligonale chiusa.

Un po’ di terminologia "del mestiere":

• i lati sono i segmenti della poligonale;
• i vertici sono i punti estremi (per intenderci, dove i lati si incontrano e formano gli angoli);
• le diagonali sono i segmenti che uniscono due vertici che non appartengono allo stesso lato.

I poligoni hanno:

• angoli interni, formati da ogni coppia di lati del poligono;
• angoli esterni, adiacenti a quelli interni, cioè formati da un lato e dal prolungamento dell’altro.

I poligoni sono:

• convessi, se tutti gli angoli interni sono minori di 180°;
• concavi, se hanno almeno un angolo interno maggiore di 180°.

I poligoni sono infine regolari:

• equilateri: tutti i lati congruenti;
• equiangoli: tutti gli angoli congruenti;

I nomi dei poligoni dipendono dal numero di lati!

Esiste infine una particolare classificazione dei poligoni rispetto alla circonferenza. I poligoni possono essere:

• inscritti in una circonferenza quando tutti i suoi vertici appartengono ad una circonferenza;
• circoscritti ad una circonferenza quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. Ogni lato del poligono e la circonferenza si toccano in un solo punto.

Teorema somma degli angoli interni di un triangolo

Il teorema somma degli angoli interni di un triangolo:
"La somma degli angoli interni di un triangolo qualunque è congruente ad un angolo piatto (180°)"
La dimostrazione possiamo dividerla in tre punti chiave:

• Consideriamo un triangolo qualunque, tracciamo la parallela alla base passante per il vertice opposto e prolunghiamo uno degli altri due lati dalla parte in cui è stata disegnata la parallela;
• Applichiamo il teorema delle parallele agli angoli che si vengono a formare;
• Applichiamo il teorema dell’angolo esterno e concludiamo.

Dal teorema somma degli angoli interni di un triangolo si deducono 3 corollari:

• nei triangoli rettangoli gli angoli acuti sono complementari, dal momento che un angolo misura 90° la somma degli altri sarà 90°;
• nei triangoli equilateri ogni angolo misura 60° (perché 180°/3=60°), visto che gli angoli sono tutti congruenti;
• due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi (secondo criterio di congruenza dei triangoli; generalizzato). Quindi se conosci due angoli puoi sempre calcolare quanto misura il terzo!

Proprietà degli angoli dei poligoni convessi

1. Somma degli angoli interni di un poligono convesso:
   In un poligono convesso di n lati, la somma degli angoli interni è congruente a (n-2) angoli piatti.
   Dimostriamo questa proprietà tracciando tutte le diagonali che partono da un vertice: in questo modo otteniamo (n-2) triangoli su cui applicare il teorema della somma degli angoli interni.
2. Somma degli angoli esterni di un poligono convesso:
   La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è congruente a un angolo giro.
   Sappiamo che ogni angolo interno e il rispettivo angolo esterno sono supplementari. Quindi per dimostrare questa proprietà basta applicare la proprietà precedente.

Quali sono i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli

I quattro criteri di congruenza sono i modi per capire velocemente se due triangoli rettangoli sono congruenti.
Velocemente possiamo dire che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno due elementi congruenti (oltre all’angolo retto), di cui almeno un lato.

Più precisamente due triangoli rettangoli sono congruenti se…

1. Primo criterio: … hanno rispettivamente congruenti i due cateti.
2. Secondo criterio: … hanno congruenti rispettivamente un cateto e un angolo acuto.
3. Terzo criterio: … se hanno congruenti rispettivamente l’ipotenusa e un angolo acuto.
4. Quarto criterio: … se hanno congruenti rispettivamente l’ipotenusa e un cateto.

Ripassa per l’interrogazione sui poligoni

Ora che hai studiato come riconoscere i poligoni e quali sono le loro principali caratteristiche e proprietà non ti resta che mettere alla prova la tua preparazione! Prova a rispondere alle domande dell’interrogazione!

Sfida sui poligoni

Sfida:

Soluzione:

Devi accompagnare il tuo fratellino al centro sportivo: ci sono campi da basket, da calcio, da baseball, il tiro con l’arco e il lancio del peso. Di che forma sono i campi da gioco? Saranno dei poligoni, ma quali? Prova a risolvere la sfida!