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Posizioni reciproche: rette e piani nello spazio

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Le posizioni reciproche di rette e piani nello spazio rappresentano i diversi modi in cui queste figure geometriche possono interagire o essere disposte relativamente l’una rispetto all’altra in un ambiente tridimensionale. Questa interazione è fondamentale in molti campi, inclusi l’architettura, l’ingegneria e la matematica, poiché fornisce informazioni chiave sulla struttura spaziale e sulle proprietà geometriche degli oggetti.

Impara a riconoscere le posizioni reciproche di rette (complanari e sghembe) e piani (incidenti e paralleli) nello spazio e di una retta rispetto ad un piano (giacente, incidente, parallela e perpendicolare).

La geometria dello spazio non ti è chiara? Studiamola insieme! In questa video lezione imparerai:

  • Posizioni reciproche di rette e piani nello spazio: parallelismo e perpendicolarità nello spazio, definizioni e proprietà
  • Definizioni di diedri e piani perpendicolari: cos’è un diedro e definizione di piani perpendicolari

Posizioni reciproche di rette e piani nello spazio

Per capire le posizioni reciproche di rette e piani nello spazio, abbiamo bisogno di un po’ di terminologia.
Quando parliamo di rette, abbiamo:

  • rette complanari: due rette nello spazio che appartengono ad uno stesso piano (incidenti o parallele);
  • rette sghembe: due rette che non appartengono allo stesso piano.

Quando parliamo di piani, abbiamo:

  • piani incidenti: due piani distinti che hanno in comune una retta;
  • piani paralleli: due piani che non hanno punti in comune e non sono coincidenti.

Data una retta rispetto ad un piano, la retta può essere:

  • giacente: tutti i punti della retta appartengono al piano;
  • incidente: la retta ha un solo punto in comune con il piano;
  • parallela: la retta non ha alcun punto in comune con il piano.

Una retta è perpendicolare a un piano quando è incidente al piano e perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per il punto di incidenza.

Alcune proprietà delle rette perpendicolari:

  • dato un piano £$ \alpha $£ e un punto £$P$£, esiste ed è unica la retta che passa per il punto £$P$£ ed è perpendicolare al piano;
  • due rette perpendicolari a uno stesso piano sono parallele tra loro;
  • se due piani sono perpendicolari a una stessa retta in punti distinti, allora sono paralleli;
  • le intersezioni tra un piano e due piani paralleli sono rette parallele.

Parliamo ora di distanza tra:

  • piani paralleli, che è la lunghezza del segmento intercettato (cioè delimitato) da due piani su una qualunque retta perpendicolare a questi piani. Ricorda infatti che una retta perpendicolare a un piano è perpendicolare anche all’altro. Inoltre, scelte due rette perpendicolari a piani paralleli, i segmenti intercettati dai piani su esse sono congruenti.;
  • un punto e un piano, che è la lunghezza del segmento che ha per estremi il punto e il piede della perpendicolare (il punto dove la perpendicolare tocca il piano) passante per £$A$£.

Piani nello spazio: cosa sono i diedri

Due semipiani con la stessa retta di origine dividono lo spazio in 2 parti.
Un diedro è ognuna di queste due parti, inclusi i semipiani che la originano. Nel diedro chiamiamo:

  • spigolo: la retta origine dei 2 semipiani;
  • facce: i due semipiani;
  • sezione: l’angolo che otteniamo intersecando un diedro con un qualunque piano che interseca il suo spigolo.

Attenzione! Due piani sono perpendicolari quando formano 4 diedri uguali, quindi retti.

Sfida sulla posizione reciproca di due piani

Sfida:

Soluzione:

Guarda una stanza e pensa di considerare il pavimento e il soffitto, oppure il pavimento e una delle quattro pareti verticali. Come sono messi i piani tra loro? È tutta questione di geometria! Prova a risolvere la sfida e poi allenati con gli esercizi.

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.