Trapezi e fasci impropri di rette: proprietà e dimostrazioni
Il trapezio è una figura geometrica fondamentale nella matematica, particolarmente studiata per le sue interessanti proprietà e applicazioni. Definito come un quadrilatero con almeno una coppia di lati opposti paralleli, il trapezio si divide in vari tipi, come il trapezio isoscele e il trapezio rettangolare, ciascuno con caratteristiche uniche che influenzano le strategie di soluzione dei problemi in cui sono coinvolti.
Parallelamente, il concetto di fasci impropri di rette, ovvero insiemi di rette che hanno tutte uno stesso punto all’infinito (cioè sono parallele tra loro), si rivela cruciale in molti contesti geometrici e algebrici. Ora che abbiamo studiato le proprietà dei parallelogrammi, siamo pronti a studiare i trapezi ed i fasci di rette parallele, con le loro proprietà più importanti dimostrate e alcune dimostrazioni utili per gli esercizi.
In questa video lezione imparerai:
- Definizione e classificazione dei trapezi: cosa è un trapezio e come si classificano i trapezi
- Teorema del trapezio isoscele e suo inverso: enunciato e dimostrazione della proprietà necessaria e sufficiente dei trapezi isosceli e corollario
- Definizioni e proprietà dei fasci impropri di rette: cosa è un fascio improprio di rette, teoremi e proprietà con dimostrazione
- Che cos'è un trapezio
- Teorema del trapezio isoscele e suo inverso
- Cosa sono i fasci impropri di rette
- Interrogazione su trapezi e proprietà
- Sfida sui trapezi
Che cos’è un trapezio
Un trapezio è un quadrilatero con due soli lati paralleli.
Un trapezio può essere:
- isoscele, se ha i lati obliqui congruenti;
- rettangolo, se uno dei due lati obliqui è perpendicolare alle basi;
- scaleno, se i lati hanno diversa lunghezza e gli angoli diversa ampiezza tra loro.
Attenzione! Il perimetro è la somma dei suoi lati: Base maggiore (B) + base minore (b) + lato obliquo 1 + lato obliquo 2.
L’area è: £$ \dfrac{(B+b) \cdot h}{2}$£.
Teorema del trapezio isoscele e suo inverso
Teorema del trapezio isoscele: "in un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti".
Per dimostrare il teorema disegniamo le altezze del trapezio, e applichiamo il quarto criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
Da questo teorema segue il corollario: "nei trapezi isosceli, gli angoli opposti sono supplementari".
Teorema inverso del trapezio isoscele: "se un trapezio ha gli angoli alla base congruenti allora è sempre un trapezio isoscele!"
Dimostriamo il teorema come il precedente, tracciamo le altezze e poi applichiamo il secondo criterio di congruenza.
Cosa sono i fasci impropri di rette
Un fascio improprio di rette è l’insieme di tutte le rette parallele ad una data retta.
Una retta che interseca tutte le rette del fascio è la trasversale del fascio.
Quando le trasversali sono due esistono:
- punti corrispondenti, i punti in cui ogni retta del fascio interseca le trasversali;
- segmenti corrispondenti, i segmenti con i punti corrispondenti come estremi.
Teorema del fascio di rette parallele: "dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale."
Il teorema del fascio di rette parallele ci torna utile anche con i triangoli e con i trapezi. Infatti grazie a questo teorema possiamo dimostrare che:
- "se in un triangolo tracciamo la retta che passa per il punto medio di un lato ed è parallela ad un altro lato, allora questa incontra anche il terzo lato nel suo punto medio".
- "se in un triangolo si congiungono i punti medi di due lati, allora il segmento che si ottiene è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà".
Questi teoremi ci aiutano anche con i trapezi, e ci permettono di affermare che "in un trapezio, il segmento congiungente i punti medi del lati obliqui è parallelo alle due basi e congruente alla loro semisomma".
Interrogazione su trapezi e proprietà
Ora che sai cosa sono i trapezi e le loro proprietà non ti resta che metterti alla prova con le domande dell’interrogazione! Saranno mica quelle che ti farà il prof domani?
Sfida sui trapezi
Sfida
Soluzione
Il campo di tiro con l’arco è un quadrilatero con solo due lati paralleli. Non è quindi un rombo né un quadrato o un rettangolo! Che poligono è? Hai risolto subito la sfida? Allora corri a fare gli esercizi sul trapezio.