Cosa sono gli eventi e il calcolo delle probabilità
La probabilità è una parte fondamentale del nostro quotidiano, anche se non sempre ne siamo consapevoli: dal controllo del meteo per decidere se portare o meno un ombrello, fino a decisioni più complesse come gli investimenti finanziari, usiamo costantemente il concetto di probabilità per prevedere gli esiti futuri degli eventi e di ciò che accade sulla base delle informazioni disponibili.
In questo articolo tratteremo il calcolo della probabilità, un campo della matematica che ci permette di quantificare le nostre incertezze e di fare previsioni più informate. Parleremo anche di un termine chiave nel calcolo della probabilità: l’evento. Un evento, nel contesto della probabilità, è semplicemente un risultato o un insieme di risultati di un esperimento o di una procedura casuale.
Scopriamo di più insieme!
- Il calcolo delle probabilità: cos'è e cos'è un evento in statistica
- Cos'è un evento nel calcolo delle probabilità
- Come scrivere la probabilità
- Qual è il rapporto tra gli eventi nel calcolo delle probabilità
- Come calcolare la probabilità che due eventi si verifichino
- Il calcolo della probabilità dell'unione di eventi
- Probabilità classica
- Probabilità statistica o frequentista
- Probabilità soggettiva
Il calcolo delle probabilità: cos’è e cos’è un evento in statistica
Il calcolo della probabilità è una branca della matematica che si occupa di quantificare la possibilità che un determinato evento si verifichi. Si basa su concetti come l’evento, l’esperimento e l’insieme campionario, ed è un campo che ha applicazioni in una vasta gamma di discipline, tra cui statistica, fisica, economia, informatica e molto altro.
In termini molto semplici, la probabilità di un evento è calcolata come il numero di modi in cui l’evento può verificarsi, diviso per il numero totale di risultati possibili. Questa semplice idea può essere estesa per gestire situazioni molto più complesse, consentendo previsioni accurate in una vasta gamma di contesti.
Ma cosa intendiamo esattamente con "evento" nel contesto della probabilità? In statistica, un evento è un insieme di possibili esiti di un esperimento. Ad esempio, se lanciamo una moneta, ci sono due possibili esiti (testa o croce), quindi abbiamo due eventi. Questo concetto di evento è fondamentale nel calcolo della probabilità e permette di definire e calcolare la probabilità di eventi complessi a partire da eventi più semplici. Vediamolo meglio!
Cos’è un evento nel calcolo delle probabilità
Nell’introduzione alla probabilità abbiamo parlato di probabilità di eventi. Ma cos’è un evento? E’ qualunque cosa possa essere osservata e misurata. Ma attenzione! Nel calcolo delle probabilità ci interessano solo gli eventi casuali o aleatori (dal latino alea – dado) cioè gli eventi legati al caso o che comunque non possiamo prevedere.
Ad esempio un evento aleatorio è il risultato del lancio di un dado, oppure vincere alla lotteria. Il calcolo delle probabilità quindi si occupa solo degli eventi casuali o aleatori.
Come scrivere la probabilità
Ora che hai visto cos’è la probabilità di un evento, vediamo come scrivere il valore della probabilità. Ci sono tre modi in cui puoi esprimere la probabilità:
- un numero decimale, cioè con un numero compreso tra £$ e [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]1$£ scritto con la virgola (ad esempio £$0{,}8$£);
- con una percentuale, cioè moltiplicando per £$100$£ il numero decimale tra £$ e [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]1$£ (ad esempio £$0{,}8$£ diventa £$80\%$£);
- con una frazione, cioè rappresentando il numero compreso tra £$ e [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]1$£ sotto forma di frazione (ad esempio £$0{,}8$£ diventa £$\dfrac{8}{10}$£).
La forma più usata è quella percentuale perché possiamo immaginare meglio quanto l’evento misurato sia probabile. Infatti £$80\%$£ significa che su £$100$£ prove ripetute della stessa situazione, ci aspettiamo che l’evento si verifichi £$80$£ volte.
Qual è il rapporto tra gli eventi nel calcolo delle probabilità
Dipendenti o indipendenti?
Compatibili o incompatibili?
Abbiamo visto come calcolare la probabilità di un evento casuale. Ma come si calcola la probabilità di due eventi? Ci serve sapere se il verificarsi di un evento modifica la probabilità di verificarsi del secondo. Se questo accade, i due eventi sono dipendenti, se invece il verificarsi di uno non modifica la probabilità dell’altro, allora sono eventi indipendenti.
Se due eventi sono dipendenti possono anche essere compatibili cioè che possono verificarsi contemporaneamente, oppure incompatibili. In questo caso, o si verifica uno oppure si verifica l’altro, cioè la probabilità che si verifichino entrambi è [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/].
Come calcolare la probabilità che due eventi si verifichino
Probabilità dell’intersezione
Intersezione di eventi indipendenti
Come calcolare la probabilità che due eventi si verifichino? E se questi eventi accadono contemporaneamente? C’è differerenza se sono eventi dipendenti oppure indipendenti? Una cosa alla volta…
Se £$A$£ e £$B$£ sono due eventi, anche "accade £$A$£ e £$B$£" è un evento e si verifica se sia £$A$£ che £$B$£ si realizzano. Questo evento viene chiamato evento intersezione £$A \cap B$£.
Vediamo insieme come le formule per calcolare la probabilità dell’evento intersezione cambiano a seconda che i due eventi £$A$£ e £$B$£ siano compatibili o incompatibili, dipendenti oppure indipendenti.
Il calcolo della probabilità dell’unione di eventi
Come calcolare la probabilità dell’unione di due eventi ? Ma prima, cos’è l’unione di due eventi?
Se £$A$£ e £$B$£ sono due eventi, vogliamo sapere cosa succede se consideriamo "accade £$A$£ oppure £$B$£". Intanto questo è un evento e si verifica se si realizza £$A$£ o £$B$£ oppure entrambi. Questo evento viene chiamato evento unione £$A \cup B$£.
Vediamo insieme come le formule per calcolare la probabilità dell’evento unione cambiano a seconda che i due eventi £$A$£ e £$B$£ siano compatibili o incompatibili, dipendenti oppure indipendenti.
La formula generale è £$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$£.
Probabilità classica
Come calcolare la probabilità di un evento? È facile se sappiamo quanti sono i risultati favorevoli e quanti sono i risultati possibili!
Qual è la probabilità di ottenere testa lanciando una moneta?
Se la moneta non è truccata, ci sono le stesse probabilità che esca testa o che esca croce! I due risultati sono equiprobabili.
I casi possibili sono £$2$£: testa o croce. Il caso favorevole è uno solo: testa.
Allora la probabilità classica è il rapporto tra il numero di risultati favorevoli e il numero di risultati possibili.
La probabilità di ottenere testa lanciando una moneta è £$\dfrac12$£! Possiamo dire anche che è £$0{,}5$£ oppure che è il £$50\%$£.
Guarda il video per scoprire altri esempi in cui puoi usare la probabilità classica.
Probabilità statistica o frequentista
Come possiamo stimare la probabilità di un evento se non conosciamo quanti sono i risultati possibili e i risultati probabili? In questo caso non possiamo utilizzare la probabilità classica, ma niente paura: c’è un altro modo!
Se l’evento di cui vogliamo stimare la probabilità è un evento ripetibile, cioè se è il risultato di un esperimento che possiamo ripetere tante volte, ne possiamo calcolarne la frequenza! Contiamo quante volte l’evento si verifica e lo dividiamo per il numero di esperimenti: calcoliamo cioè, la frequenza relativa con cui l’evento si è verificato.
Questo modo di calcolare la probabilità si chiama probabilità statistica o frequentista (utilizziamo le frequenze!) perché calcoliamo la probabilità dopo aver ripetuto un esperimento un certo numero (più grande è meglio è) di volte.
Guarda il video per scoprire alcuni esempi in cui si utilizza la probabilità statistica.
Probabilità soggettiva
E se l’evento non fosse ripetibile? C’è un altro modo per stimare la probabilità: si basa sull’idea che ognuno possa attribuire un valore a un evento e quindi anche la probabilità che questo si verifichi.
Se devi scommettere sul risultato della finale a squadre di fioretto femminile alle olimpiadi, non puoi utilizzare la probabilità classica o quella statistica. Si tratta di un evento irripetibile! Puoi decidere come e quanto scommettere solo basandosi sulle tua valutazioni personali.
Dato che dipende da chi la stima, chiamiamo questa probabilità soggettiva.
Nel video vedrai diversi esempi che ti faranno capire quando usare la probabilità soggettiva.